극분해

선형대수학과 함수해석학에서 극분해(極分解, 영어: polar decomposition)는 복소수 정사각 행렬 또는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유계 작용소를, “절댓값”과 “편각”으로 분해하는 과정이다. 여기서, “절댓값” 성분은 항상 음이 아닌 고윳값을 가지는 자기 수반 작용소이며, “편각” 성분은 그 핵의 직교 여공간과 치역 사이의 유니터리 변환을 정의한다.

정의

복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 유계 작용소

$A\colon H\to H$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$의 극분해는 다음과 같은 조건들을 만족시키는 순서쌍 $(U,P)$이다.

• $U,P\colon H\to H$는 유계 작용소이다.
• $A=U\circ P$이다.
• $U\colon H\to H$의 경우, $H/\ker U\to H$는 등거리 변환이다. (그러나 단사 함수일 필요도, 전사 함수일 필요도 없다.)
• $P$는 유계 자기 수반 작용소이며, 임의의 $v\in H$에 대하여 $\langle v|H|v\rangle \in [0,\infty )\subseteq \mathbb {C}$이다.
• $(\ker U)^{\perp }=\operatorname {cl} (PH)$이다. (여기서 $\operatorname {cl} (-)$은 폐포이다.)

사실, 항상

$P={\sqrt {A^{*}A}}=|A|$

임을 보일 수 있다.

성질

복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 유계 작용소 $A\colon H\to H$의 극분해 $(U,P)$는 항상 존재하며, 항상 유일하다.

폰 노이만 대수의 경우

$P$는 $\{A\}$로 생성되는 C* 대수의 원소이다. $U$는 $\{A\}$로 생성되는 폰 노이만 대수의 원소이다. 만약 $A$가 $\operatorname {B} (H,H)$의 가역원이라면 (즉, 전단사 함수이며 유계 역함수를 갖는다면), $U$는 $\{A\}$로 생성되는 C* 대수의 원소이다.

이에 따라, 임의의 폰 노이만 대수의 원소의 극분해를 마찬가지로 정의할 수 있다. 또한, C* 대수의 가역원의 경우 마찬가지로 극분해를 정의할 수 있다.

유한 차원의 경우

만약 $H$가 유한 차원이며 $A$가 가역 행렬이라면, $A$의 극분해 $(U,P)$에서 $U$는 유니터리 작용소가 된다. 그러나 만약 $H$가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다.

또한, $H$가 유한 차원일 때,

$\det A=\det U\det P$

이므로

$\det P=|\det A|\in [0,\infty )$

$\det U\in \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$

이다.

예

유한 차원

임의의 복소수 $z\in \mathbb {C}$를 유계 작용소 $z\cdot \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$로 간주할 때, 그 극분해는 절댓값과 편각으로의 분해와 같다.

$z=\exp(\mathrm {i} \theta )\cdot r\qquad (r\in [0,\infty ))$

보다 일반적으로, $\mathbb {C} ^{n}$ 위의 대각 행렬

$\operatorname {diag} \left(r_{1}\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,r_{n}\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}\qquad \left(\theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} ,\;r_{1},\dotsc ,r_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right)$

의 극분해는 다음과 같다.

$\operatorname {diag} \left(r_{1}\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,r_{n}\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)=\operatorname {diag} \left(\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n})\right)\operatorname {diag} (r_{1},\dotsc ,r_{n})$

무한 차원

르베그 공간

$H=\ell ^{2}(\mathbb {N} ;\mathbb {C} )$

을 생각하자. 그 위의 시프트 연산자

$A\colon (z_{0},z_{1},\dotsc )\mapsto (0,z_{0},z_{1},\dotsc )$

를 생각하자. 이 경우,

$A^{*}A=1$

이므로 극분해 $(P,U)$는

$P=1$

$U=A$

이다. 특히, $U$는 유니터리 작용소가 되지 못한다.

외부 링크

• “Polar decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Moslehian, Mohammad Sal. “Polar decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Polar decomposition”. 《nLab》 (영어).