약한 위상

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수학에서, 약한 위상(弱한位相, 영어: weak topology)은 어떤 위상벡터공간의 연속쌍대공간의 모든 원소를 연속함수로 만드는 가장 약한 위상이다.

정의[편집]

위상체 k에 대한 위상벡터공간 V연속쌍대공간 V^*연속함수 V\to k들로 구성된 벡터공간이다. 모든 열린 집합 U\subset k와 모든 \phi\in V^*에 대하여,

\phi^{-1}(U)\subset V

꼴의 집합들을 부분기저로 하는 V의 위상을 약한 위상이라고 한다. 즉, V의 약한 위상은 V^*의 모든 원소를 연속함수로 남기는 위상들 가운데 열린 집합이 가장 덜 존재하는 위상이다. 이 경우, 약한 위상과 구별하기 위하여 V의 원래 위상을 강한 위상(强한位相, 영어: strong topology)이라고 한다.

모든 v\in V는 연속쌍대공간 V^*에서 체 k로 가는 함수

v\colon V^*\to k
v\colon\phi\mapsto\phi(v)

로 간주할 수 있다. 모든 열린 집합 U\subset K와 모든 v\in V에 대하여

v^{-1}(U)=\{\phi\in V^*\colon\phi(v)\in U\}\subset V^*

꼴의 집합들을 부분기저로 하는, V^*의 위상을 약한-* 위상(弱한-* 位相, 영어: weak-* topology, "약한-스타 위상"으로 읽음)이라고 한다. 즉, V^*의 약한-* 위상은 V의 모든 원소를 연속함수로 남기는 위상들 가운데 열린 집합이 가장 덜 존재하는 위상이다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Reed, Michael C., Barry Simon (1980년). 《Functional analysis》, Methods of modern mathematical physics 1. Academic Press. Zbl 0459.46001. ISBN 0-12-585050-6

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Weak topology. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).
  • (영어) Strong topology. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).