아벨 군

군론에서, 아벨 군(Abel群, 영어: abelian group) 또는 가환군(可換群, 영어: commutative group)은 교환 법칙이 성립하는 군이다. 정수환 위의 가군으로 생각할 수 있다.

정의

아벨 군은 다음과 같은 두 가지 방법으로 정의할 수 있다.

• 아벨 군은 모든 $g,h\in G$에 대하여 $g+h=h+g$인 군 $(G,+)$이다.
• 아벨 군은 정수환 $\mathbb {Z}$ 위의 가군 $(G,+,n\cdot _{n\in \mathbb {Z} })$이다.

두 정의는 서로 동치이다. 교환 법칙을 만족시키는 군 $(G,+)$이 주어졌다면, 여기에

$n\cdot g={\begin{cases}\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n}&n>0\\(-n)\cdot (-g)&n<0\\0&n=0\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\;g\in G$

와 같이 정수환의 작용을 정의할 수 있다. 반대로, 정수환 위의 가군 $(G,+,n\cdot _{n\in \mathbb {Z} })$이 주어졌다면, 정수환의 작용을 잊으면 $(G,+)$는 가환 법칙을 만족시키는 군을 이룬다.

생성 집합

아벨 군 $G$의 생성 집합(生成集合, 영어: generating set) $S\subset G$은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

• 임의의 $g\in G$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $n\colon S\to \mathbb {Z}$가 존재한다.
  • $\{s\in S\colon n(s)\neq 0\}$은 유한 집합이다.
  • $g=\sum _{s\in S}n(s)s$이다.

$G$의 최소 생성 집합(最小生成集合, 영어: minimal generating set)은 생성 집합 가운데, 집합의 크기가 가장 작은 것이다. 최소 생성 집합이 유한 집합인 아벨 군을 유한 생성 아벨 군(有限生成Abel群, 영어: finitely generated abelian group)이라고 한다.

계수

아벨 군 $G$의 일차 독립 부분 집합(一次獨立部分集合, linearly independent subset) $A=\{a_{i}\}_{i\in I}\subset G$는 그 합이 0인 선형 결합이 자명한 선형 결합밖에 없는 부분 집합이다. 즉, $n=(n_{i})_{i\in I}$가 유한개의 성분들만 0이 아닌 $|I|$개 음이 아닌 정수들의 순서쌍이라고 하면,

$\sum _{i\in I}n_{i}a_{i}=0$

일 필요충분조건은 $n=0$인 경우다.

아벨 군 $G$의 계수(階數, 영어: rank) $\operatorname {rank} G$는 다음과 같이 두 가지 방법으로 정의될 수 있는 기수이다.

• $\operatorname {rank} G$는 $G$의 일차 독립 부분집합들의 집합의 크기들의 최댓값이다.
• $\operatorname {rank} G=\dim _{\mathbb {Q} }G\otimes \mathbb {Q}$이다. 여기서 $\otimes$는 아벨 군의 텐서곱이다.

따라서, 유리수 위의 벡터 공간의 경우, 아벨 군으로서의 계수는 유리수 위의 벡터 공간으로서의 차원과 같다.

직접곱과 직합

 이 부분의 본문은 직접곱 및 직합입니다.

아벨 군들의 집합 $\{G_{i}\}_{i\in I}$이 주어졌다면, 직접곱

$\prod _{i\in I}G_{i}$

를 정의할 수 있다. 이는 군의 직접곱의 특수한 경우이며, 아벨 군들의 직접곱은 항상 아벨 군을 이룬다.

아벨 군들의 집합 $\{G_{i}\}_{i\in I}$이 주어졌다면, 직합

$\bigoplus _{i\in I}G_{i}$

를 정의할 수 있다. 이는 가군의 직합의 특수한 경우이다. 직합은 직접곱의 부분군이다.

$\bigoplus _{i\in I}G_{i}\subseteq \prod _{i\in I}G_{i}$

만약 $I$가 유한 집합이라면 직합은 직접곱과 같으나, 무한 집합이라면 직합은 직접곱의 진부분 집합이다.

임의의 크기의 집합 $I$에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname {rank} \left(\bigoplus _{i\in I}G_{i}\right)=\sum _{i\in I}\operatorname {rank} G_{i}$

여기서 우변은 기수의 합이다.

텐서곱

 이 부분의 본문은 텐서곱입니다.

아벨 군들의 집합 $\{G_{i}\}_{i\in I}$이 주어졌다면, 텐서곱

$\bigotimes _{i\in I}G_{i}$

을 취할 수 있다. 이는 가군의 텐서곱의 특수한 경우다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

순환군 ⊊ 아벨 유한군 ⊊ 유한 생성 아벨 군 ⊊ 아벨 군 ⊊ 데데킨트 군 ⊊ 가해군 ⊊ 군

특히, 모든 아벨 군은 데데킨트 군이므로, 아벨 군의 모든 부분군은 정규 부분군이다.

아벨 군들의 직접곱은 아벨 군이다. 아벨 군의 부분군은 아벨 군이다.

유한 생성 아벨 군의 유한 개의 직합은 유한 생성 아벨 군을 이룬다.

모든 아벨 유한군은 유한 생성 아벨 군이며, 계수가 0이다.

모든 아벨 군 $G$에 대하여, $G$의 계수는 $G$의 최소 생성 집합의 크기보다 같거나 작고, $G$의 최소 생성 집합의 크기는 $G$의 크기보다 같거나 작다.

범주론적 성질

아벨 군과 군 준동형 사상의 범주 $\operatorname {Ab}$는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.

• 아벨 군의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 자명군이다.
• 두 아벨 군 사이의 군 준동형 사상들의 집합은 자연스럽게 아벨 군의 구조를 갖는다. 구체적으로, $\phi ,\chi \colon G\to H$가 주어졌다면 $(\phi +\chi )\colon g\mapsto \phi (g)+\chi (g)$와 같이 정의한다.
• 모든 유한 곱과 유한 쌍대곱이 존재하며, 서로 같다. 이는 직접곱(=아벨 군의 직합)이다.
• 분할 보조정리가 성립한다.

또한, 아벨 군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 다음이 추가로 성립한다.

• 모든 극한 및 쌍대극한이 존재한다. 무한 곱은 직접곱이며, 무한 쌍대곱은 직합이다. 무한 곱과 무한 쌍대곱은 서로 다르다.

분류

아벨 군들은 일차적으로 계수 $\operatorname {rank} G$에 의하여 분류된다. 이는 기수이다.

일반적인 아벨 군은 분류하기 힘들다. 다만, 다음과 같은 부분적인 분류가 존재한다.

• 유한 생성 아벨 군은 완전히 분류되었다. 즉, 모든 유한 생성 아벨 군은 그 계수 및 꼬임 부분군에 의하여 완전히 분류된다.
• 꼬임 부분군이 없는 계수 1의 아벨 군 역시 완전히 분류되었다.

아벨 유한군의 분류

모든 아벨 유한군은 다음과 같은 형태로 표준적으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다. 이를 소분해(素分解, 영어: prime decomposition)라고 한다.

$\mathbb {Z} /p_{1}^{n_{1}}\oplus \mathbb {Z} /p_{2}^{n_{2}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /p_{t}^{n_{t}}$

여기서 $\{(p_{i},n_{i})\}$는 소수의 거듭제곱들의 중복집합이다.

마찬가지로 아벨 유한군을 다음과 같이 표현할 수도 있으며, 이를 불변 인자 분해(不變因子分解, 영어: invariant factor decomposition)라고 한다.

$\mathbb {Z} /k_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /k_{u}$

여기서 $k_{i}$는 $k_{i+1}$의 약수이다.

이 두 분해는 서로 동치이다. $a$와 $b$가 서로소인 것과 $\mathbb {Z} _{ab}\cong \mathbb {Z} _{a}\oplus \mathbb {Z} _{b}$은 동치라는 사실을 이용하면 불변 인자 분해를 자연스럽게 소분해로 표현할 수 있다. 반대로, 아벨 유한군의 소분해가 주어져 있다면, 적절한 인자의 분배를 통해 불변 인자 분해로 나타낼 수 있다.^:78–81

아벨 유한군의 자기 동형군 역시 완전히 알려져 있다. 소분해가 주어진 아벨 $p$-유한군의 자기 동형군의 크기는 다음과 같다.

$\left|\operatorname {Aut} \left(\bigoplus _{i=1}^{t}\mathbb {Z} /p^{n_{i}}\right)\right|=\prod _{k}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j}p^{n_{j}(t-d_{j})}\prod _{i}p^{(n_{i}-1)(t-c_{i}+1)}$

여기서 항상

$n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots \leq n_{t}$

이며,

$c_{i}=\min\{j\colon n_{p,i}=n_{p,j}\}$

$d_{i}=\max\{j\colon n_{p,i}=n_{p,j}\}$

이다. 임의의 아벨 유한군

$G=\bigoplus _{p}G_{p}$

의 자기 동형군은

$\operatorname {Aut} (G)=\prod _{p}\operatorname {Aut} (G_{p})$

이다.

유한 생성 아벨 군의 분류

모든 유한 생성 아벨 군 $G$는 다음과 같은 형태로 표준적으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다.

$G=\mathbb {Z} ^{n}\oplus \operatorname {Tors} (G)$

여기서 $\operatorname {Tors} (G)$는 아벨 유한군이며, $G$의 꼬임 부분군이라고 한다. 자연수 $n\in \mathbb {N}$은 $G$의 계수와 같다.

꼬임 부분군이 없는 계수 1 아벨 군의 분류

꼬임 부분군이 자명군이며, 계수가 1인 아벨 군들은 다음과 같이 완전히 분류된다.

계수가 1인 아벨 군 $G$가 주어졌다고 하자. 임의의 $g\in G$ ($g\neq 0$) 및 소수 $p$에 대하여,

$T_{p}(g)=\sup\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \exists h\colon a=p^{n}b\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}$

라고 하자. 그렇다면 수열

$T(g)=(T_{2}(g),T_{3}(g),T_{5}(g),\dots )$

을 정의할 수 있다. 임의의 두 원소 $g,h\in G$ ($g\neq 0\neq h$)에 대하여, 계수가 1이므로 항상

$mg=nh$

인 $m,n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$이 존재한다 ($\gcd(g,h)=1$). 따라서, 만악 $p$가 $m$ 또는 $n$의 소인수가 아니라면, $T_{p}(g)=T_{p}(h)$가 된다. 즉, $T(g)$와 $T(h)$는 유한 개의 성분을 제외하고는 서로 일치한다. 이러한 두 $s,t$에 대하여

$s\sim t\iff |\{p\colon s_{p}\neq t_{p}\}|<\aleph _{0}$

와 같이 동치 관계를 정의하면, 동치류 $[T(g)]$는 $g\in G$에 상관없이 유일하게 정의된다. 이를 $G$의 형(영어: type) $T(G)$라고 하자.

그렇다면, 꼬임 부분군이 없는 계수 1의 두 아벨 군 $G$, $H$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $G$와 $H$는 서로 동형이다.
• 두 군은 같은 형을 갖는다. 즉, $T(G)=T(H)$이다.

고차 계수 아벨 군

계수가 2 이상인 아벨 군의 분류는 사실상 불가능한 것으로 생각된다. 계수가 2 이상인, 꼬임 부분군이 자명한 아벨 군의 분류는 계수 1인 경우와 비교할 때 (어떤 집합론적인 엄밀한 의미에서) 훨씬 더 어렵다.

예

흔히 볼 수 있는 아벨 군의 예로는 다음이 있다.

기호	설명	계수	최소 생성 집합의 크기	집합의 크기
$\mathbb {Z} /n$	순환군	0	1	$n$
$\mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2$	클라인 4원군	0	2	4
$\mathbb {Z}$	무한 순환군	1	1	$\aleph _{0}$
$\mathbb {Q}$	유리수의 덧셈군	1	$\aleph _{0}$	$\aleph _{0}$
$\mathbb {Q} ^{n}$	유클리드 공간의 유리점	$n$	$\aleph _{0}$	$\aleph _{0}$
$\mathbb {Q} ^{+}\cong \bigoplus _{p}\mathbb {Z}$	양의 유리수의 곱셈군(=가산 개의 생성원의 자유 아벨 군)	$\aleph _{0}$	$\aleph _{0}$	$\aleph _{0}$
$(\mathbb {Z} /2)^{\oplus \aleph _{0}}$	2차 순환군의 가산 무한 직합	0	$\aleph _{0}$	$\aleph _{0}$
$\mathbb {R}$	실수의 덧셈군	$2^{\aleph _{0}}$	$2^{\aleph _{0}}$	$2^{\aleph _{0}}$
$\mathbb {R} ^{n}$	유클리드 공간	$2^{\aleph _{0}}$	$2^{\aleph _{0}}$	$2^{\aleph _{0}}$

역사

역사적으로, 군론은 고차 방정식의 해법 가능성 여부에 대한 갈루아 이론으로부터 출발하였다. 이를 연구하던 닐스 헨리크 아벨은 어떤 다항식의 분해체의 갈루아 군이 아벨 군일 경우, 다항식의 해를 거듭제곱근만으로 나타낼 수 있음을 보였다. (이후 에바리스트 갈루아는 사실 갈루아 군이 가해군임이 족함을 보였다. 아벨 군은 가해군의 특수한 경우이다.)

아벨의 업적을 기리기 위하여, 카미유 조르당이 이 개념을 "아벨 군"이라고 명명하였다.

참고 문헌

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003. 
• Fuchs, László (1970). 《Infinite Abelian groups. Volume I》. Pure and Applied Mathematics 36–I. Academic Press. MR 0255673. 
• Fuchs, László (1973). 《Infinite Abelian groups. Volume II》. Pure and Applied Mathematics. 36-II. Academic Press. MR 0349869. 
• Norman, Christopher (2012). 《Finitely generated Abelian groups and similarity of matrices over a field》. Springer Undergraduate Mathematics Series. doi:10.1007/978-1-4471-2730-7. ISBN 978-1-4471-2729-1. ISSN 1615-2085. 

바깥 고리

• “Abelian group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Abelian group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Abelian group”. 
• “Ab”. 
• “Abelian group”. 
• “유한생성 아벨군의 기본정리”. 
• “아벨 군”. 

같이 보기

• 아벨 범주
• 가해군
• 가군
• 유체론
• 자유 아벨 군