0.999…

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수학에서 순환소수 0.999…(다음과 같은 방식으로도 쓰인다 0.\bar{9} , 0.\dot{9}), 는 1과 같은 실수를 의미한다. 다른 말로는 "0.999...'와 "1"은 같은 수이다. 이 두 수는 오랫동안 수학자들에게 같다고 인정 받았으며, 교과서에서도 그렇다고 가르쳐왔다. 이를 증명하는 데는 난이도가 각각 다른 증명이 사용된다.

이러한 현상은 10진법에서만 적용되는 것은 아니며, 모든 진법수에서 일어날 수 있다. 수학자들은 1을 정수가 아닌 수로 표현하는 방법을 고안해 냈다. 1에서만 발생되는 현상은 아니며, 9로 무한으로 이어지는 수라면 가능하다.

수십 년 동안은 수학교육자들은 학생들에게 등식이 성립하는지를 물어 보았으며, 많은 이들이 이를 질문하거나 성립하지 않는다고 하였다. 많은 학생들이 교과서, 교사들에 의해서 등식이 성립한다고 배워왔다. 하지만 보통은 이 이 성립함을 보이기 위해 고난이도의 증명이 필요하다. 일부 학생들이 두 숫자가 같지 않다고 생각하는 이유는 보통 잘못된 직관에 의한 것이다. 대표적으로 모든 실수는 단 한 가지 방법으로만 표현될 수 있다는 생각, 0.999...는 결국에는 멈춰설 거라는 생각 등이 있다.

개론[편집]

0.999… 는 10진법에서 쓰이는 숫자이며, 1과 같다는 간단한 증명이 여러 개 있는데, 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 부등식 등의 셈법에 의하여 가능하다. 유한소수의 경우 자릿수가 다르면 다른 숫자가 된다. 특히 0.99…9의 경우 언제나 1보다 작다.

이와 같은 이유로 0.999…이 1과 같냐는 질문에 대해 잘못된 결론을 내릴 수도 있다. 언어나 0.99…9에서의 생략표는 생략된 부분이 유한한 정보를 담고 있다는 의미이다. 하지만 순환소수에서 생략표가 사용되었을 때에는 이는 무한히 반복된다는 의미이다. 이는 수학적 개념인 극한을 사용하면 설명할 수 있다. 수학적으로 0.999…를 사용할 때에는 수열 (0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …)의 극한값으로 생각한다.

어떤 수를 정수나 유한소수로 표기하면 한 가지 방법밖에 없지만, 다른 표기법을 사용하면 하나의 수에 대하여 여러가지 방법이 존재한다. 예를 들어, 분수를 사용하면, 13 = 26로 표현이 된다. 하지만 무한소수로 표현하면 하나의 수를 많아야 두 가지 방법으로밖에 표시할 수 없다. 만약 두 가지 방법이 있다고 한다면, 하나는 9가 무한히 반복되어야 하고, 다른 하나는 0이 무한히 반복되어야 한다.(즉, 유한자리에서 끝나야 한다.)

0.999…=1을 수학적으로 엄밀하게 증명하는 방법에는 여러 가지가 있다. 엄밀한 증명의 개요는 다음과 같다. 두 실수가 같을 필요충분조건은 두 수의 차가 0일 때이다. 1과 0.999…의 차가 존재한다고 하면, 이는 매우 작아야 할 것이다. 이제 1과 수열 0.9, 0.99, …와의 차이를 생각하여보면, 1과 0.999…의 차이는 모든 양수보다도 항상 작아야만 한다. 이때 이러한 성질을 만족하는 수는 0밖에 없으므로, 1과 0.999…의 차이는 0과 같다는 사실을 알 수 있다.(아르키메데스 성질을 참조.) 같은 방식으로 0.333… = 13, 0.111… = 19등도 증명할 수 있다.

증명[편집]

0.999…를 등비수열무한급수로 보고 공식을 이용해 풀 수 있다.

0.999… = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{9}{10} \right)\left( \frac{1}{10} \right)^{n-1} = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = 1 .

더 간단한 증명[편집]

x= 0.999... 이면, 10x=9.99999....이다.

그럼 9x는 10x-x이므로 9.999...-0.999...=9 9x가 9이므로 x=1 즉 0.999...=1

매우 간단한 증명[편집]

1 ÷ 3

= 1/3 = 0.33333.... 이므로

양변에 3을 곱하면 1 = 0.999999... 가 된다.

매우 간단한 증명 2[편집]

서로 다른 두 실수 사이엔 반드시 제3의 실수가 존재해야 한다.

명제대우

"두 실수 사이에 서로 다른 실수가 존재하지 않으면, 그 두 수는 같은 실수이다."

인데, 0.9999.... 와 1 사이에는 다른 실수가 없으므로, 0.999... 와 1은 같은 수이다.

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