헤시안 행렬

수학에서 헤시안 행렬(Hessian matrix), 또는 헤세의 행렬은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 이 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤시안 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

정의

실변수 함수 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n})$이 주었을 때, 헤시안 행렬은 다음과 같이 주어진다.

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^2} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2} \partial x_{1}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^2} & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \cdots & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^2} \end{bmatrix}$

헤시안 행렬은, 함수의 기울기벡터 $\nabla f$에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.

함수 $f$의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.

테일러 급수와 헤시안 행렬

테일러 급수 문서를 참고하십시오.

함수 $f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$의 $n=2$인 테일러 급수는 헤시안 행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.

$\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n$에 대해 $f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +J\left(\mathbf{x}\right)\mathbf{h}+\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)$ (여기서 $\mathbf{h}^T$는 $\mathbf{h}$가 열벡터라고 할때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)

만약 $\mathbf{x}_0$가 임계점이라면 $\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0$이므로 $\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n$에 대해 $f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)$ 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫번째 항이 바로 헤시안 행렬이 되는 셈이다.

함께 보기

• 야코비 행렬
• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. 헤시안 행렬. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.