선택 공리

집합론에서, 선택 공리(選擇公理, 영어: axiom of choice, 약자 AC)는 공집합이 아닌 집합에서 한 원소를 고를 수 있으며, 또한 이를 무한 번 반복할 수 있다는 공리이다. 이 공리는 직관적으로 자연스러워 보이지만, 이 공리를 이용하면 비직관적인 결과를 얻을 수도 있다. 예를 들어, 바나흐-타르스키 역설에 따르면 구 하나를 유한개의 조각으로 분할하여 재조합하면 원래 구와 같은 부피를 갖는 구 두 개를 만들 수 있다.

정의

집합족 ${\mathcal {S}}$ 위의 선택 함수(選擇函數, 영어: choice function)는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

$f\colon {\mathcal {S}}\to \bigcup {\mathcal {S}}=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S$

$\forall S\in {\mathcal {S}}\colon f(S)\in S$

만약 $\varnothing \in {\mathcal {S}}$라면, ${\mathcal {S}}$는 물론 선택 함수를 가질 수 없다. 선택 공리에 의하면, 공집합을 포함하지 않는 모든 집합족 ${\mathcal {S}}$는 선택 함수를 갖는다.

성질

만약 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)이 일관적이라면, 선택 공리는 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 즉, 다음을 보일 수 있다.

${\mathsf {ZF}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZF}})\implies \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})$

${\mathsf {ZF}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZF}})\implies \operatorname {Con} ({\mathsf {ZF\lnot C}})$

선택 공리를 함의하는 명제

체르멜로-프렝켈 집합론 아래, 다음 명제들은 선택 공리를 함의한다.

• 구성가능성 공리 $V=L$
• 일반화 연속체 가설

선택 공리와 동치인 명제

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)을 가정하면, 선택 공리는 수많은 동치 명제들을 가지며, 다음과 같다. 즉,

${\mathsf {ZF}}\vdash {\mathsf {AC}}\iff A$

인 명제 $A$의 예는 다음을 들 수 있다.

• 공집합을 포함하지 않는 집합족 ${\mathcal {S}}$에 대하여, $\prod {\mathcal {S}}\neq \varnothing$이다.
• 초른의 보조정리
• 정렬 정리
• 티호노프 정리
• (타르스키 정리 영어: Tarski theorem) 임의의 무한 기수 $\kappa$에 대하여, $\kappa =\kappa ^{2}$
• (기수의 비교 가능성) 임의의 두 기수 $\kappa _{1}$, $\kappa _{2}$에 대하여, $\kappa _{1}=\kappa _{2}$이거나, $\kappa _{1}<\kappa _{2}$이거나, $\kappa _{1}>\kappa _{2}$이다.
• 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다.
• 자명환이 아닌 (단위원을 갖는) 환은 극대 아이디얼을 갖는다.
• 망각 함자 $\operatorname {Grp} \to \operatorname {Set}$의 상은 공집합이 아닌 모든 집합의 모임이다.
• 모든 연결 그래프는 생성나무를 갖는다.

선택 공리로부터 함의되는 명제

만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 일관적이라면 체르멜로-프렝켈 집합론으로 다음 정리들을 증명할 수 없지만, 선택 공리를 추가하면 증명할 수 있다.

• 가산선택공리
• 의존적 선택공리
• 괴델의 완전성 정리
• 모든 체는 대수적 폐포를 갖는다.
• $\mathbb {R}$와 $\mathbb {C}$는 덧셈군으로서 서로 동형이다.
• 한-바나흐 정리
• 베르의 범주 정리
• 바나흐-타르스키 역설

역사

게오르크 칸토어는 선택 공리와 동치인 정렬 정리가 증명이 필요없을 정도로 자명한 "사고 법칙"(독일어: Denkgesetz 뎅크게제츠^[*])이라고 여겼다. 그러나 다른 수학자들은 이 "사고 법칙"에 대하여 회의적이었다. 1904년에 헝가리의 수학자 쾨니그 줄러(헝가리어: Kőnig Gyula)는 정렬 정리를 반증하였다고 발표하였다. 그러나 몇 주 뒤 펠릭스 하우스도르프가 이 "반증"의 오류를 지적하였다.

1904년에 에른스트 체르멜로는 정렬 정리를 보다 더 자명한 원리로부터 유도하기 위하여 선택 공리를 도입하였고, 이를 통해 정렬 정리를 증명하였다.

현재까지도, 많은 수학자들은 선택 공리에 대하여 회의적인 입장을 보인다. 미국의 수학자 제리 로이드 보나(영어: Jerry Lloyd Bona)는 이에 대하여 다음과 같이 농담하였다.

“

선택 공리는 당연히 참이고, 정렬 정리는 당연히 거짓이고, 초른의 보조정리는 글쎄……? The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?

”

이는 선택 공리 자체는 직관적으로 보이지만, 이와 동치인 여러 명제(정렬 정리 등)는 매우 비직관적임을 시사한다.

참고 문헌

• Herrlich, Horst (2006). 《Axiom of Choice》. Lecture Notes in Mathematics 1876. Springer. ISBN 3-540-30989-6. 
• Howard, Paul; Jean E. Rubin (1998). 《Consequences of the axiom of choice》. Mathematical Surveys and Monographs 59. American Mathematical Society. ISBN 9780821809778. 
• Jech, Thomas (1973). 《The axiom of choice》. ISBN 978-0-486-46624-8. 
• Moore, Gregory H. (1982). 《Zermelo’s axiom of choice, Its origins, development and influence》. Springer. ISBN 0-387-90670-3. 
• Martin-Löf, Per (2008). Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg, Viggo Stoltenberg-Hansen, 편집. “Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?” (PDF). doi:10.1007/978-1-4020-8926-8_10. ISBN 1-4020-8925-2.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)

바깥 고리

• Grishin, V.N. (2001). “Axiom of choice”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Axiom of choice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Bell, John L. (2008년 1월 9일). “The axiom of choice”. 스탠퍼드 대학교. 
• “Axiom of choice”.