의존적 선택 공리

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집합론에서, 의존적 선택 공리(依存的選擇公理, 영어: axiom of dependent choice, 약자 DC)는 이전의 선택에 의존할 수 있는 새 선택을 가산 무한 번 허용하는, 선택 공리의 약한 형태이다.

정의[편집]

임의의 집합 S이항 관계 R\subset S^2가 주어졌고, 또한 이들이 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.

  • S\ne\varnothing
  • 임의의 s\in S에 대하여, s\mathrel{R}tt\in S가 존재한다.

그렇다면, 의존적 선택 공리에 따르면 다음 성질을 만족시키는

s\colon\mathbb N\to S
i\mapsto s_i

이 존재한다.

  • 임의의 i\in\mathbb N에 대하여, s_i\mathrel{R}s_{i+1}

성질[편집]

체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하면, 의존적 선택 공리는 선택 공리에 의하여 함의되며, 또한 가산 선택 공리를 함의한다. 그러나 그 반대 함의는 불가능하다.

선택 공리와 달리, 의존적 선택 공리는 르베그 가측 집합이 아닌 실수 집합의 존재를 증명할 수 없다.