베르의 범주 정리

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일반위상수학에서, 베르의 범주 정리(-範疇定理, 영어: Baire category theorem)는 어떤 위상공간베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 정리다.

정의[편집]

이 이름으로 불리는 정리는 두 가지가 있는데, 일부 위상수학 교과서에서는 제1 범주 정리만을 '베르의 범주 정리'로 부르기도 하나[1]:345 해석학 관점에서 이 정리를 소개할 때도 이런 경우가 있다.[2]:97 대부분의 교과서에서는 두 가지 정리를 모두 소개하고 있다.[3]:296[4]:57[5]:415–417[6]:234

베르의 제1 범주 정리는 다음과 같다.[3]:296

베르의 제2 범주 정리는 다음과 같다.[6]:234

책에 따라 이 정리의 조건이 '콤팩트 하우스도르프 공간'으로 바뀔 때가 있다.[3]:296 하지만 콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이므로 위의 형태가 더 일반적인 정리이다.

응용[편집]

베르의 범주 정리를 응용하면 다음과 같은 여러 흥미로운 결과를 얻을 수 있다.

연속이지만 어떤 점에서도 미분가능하지 않은 함수[편집]

베르의 제1 범주 정리의 따름정리로, 예컨대 [0, 1]에 정의된 실수함수연속함수이지만 어떤 점에서도 미분가능하지 않은 함수가 존재함을 보일 수 있다.[6]:238–240 증명의 개략은 다음과 같다.

  1. (보조정리) X가 베르 공간이고 B를 성질 E를 만족하는 X 원소의 모임이라고 하자. 이때 X-B가 제1 범주이면 B는 공집합이 아니다. B가 공집합이라면 X가 제1 범주가 되는데 베르 공간의 공집합이 아닌 열린 부분집합은 제2 범주이기 때문이다.
  2. [0, 1]에서 모든 연속함수의 집합 C([0, 1])을 생각하자. 여기에 균등수렴 위상을 주면 [0, 1]에 속하는 임의의 f, g에 대하여 거리함수를 d(f, g) := sup{|f(x) - g(x)||x∈[0, 1]} 와 같이 잡을 수 있다. 연속함수들로 이루어진 코시 열은 어떤 한 함수로 수렴하므로 이렇게 만들어진 공간은 완비 거리공간이고, 베르의 제1 범주 정리에 의해 베르 공간이다.
  3. 이제 '[0, 1] 안의 적어도 한 점에서 미분가능한 연속함수의 집합'을 D라 할 때, D가 C([0, 1]) 안에서 제1 범주임을 보이면 된다. D가 제1 범주이면 C([0, 1])-D는 위의 보조정리에 의해 공집합이 아니기 때문이다.

모든 유리수에서만 연속인 함수[편집]

베르의 범주 정리를 이용하면 실수가 정의역인 실수값 함수 중 모든 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다는 것도 보일 수 있다.[6]:237–238 증명의 개략은 다음과 같다.

  1. R이 실수 집합, A가 R의 조밀 부분집합일 때 함수 f:R → R이 A의 모든 점에서 연속이라고 하자. 이 경우 f가 연속이 아닌 R의 점은 제1 범주의 집합을 이룬다는 것을 베르의 범주 정리를 이용해서 증명할 수 있다.
  2. 유리수 집합은 실수의 조밀 부분집합이므로, 위의 1에 의해 f가 모든 유리수에서만 연속일 경우 무리수 집합은 제1 범주가 되고, 이 경우 유리수 집합은 제2 범주가 된다. 그런데 유리수 집합은 제1 범주이므로 모순이다. 따라서, 모든 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.

역사[편집]

프랑스수학자 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 증명하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. (한국어) 유정옥 (2006년). 《알기쉬운 위상수학》. 교우사
  2. (영어) Rudin, Walter (1987년). 《Real and complex analysis》. McGraw-Hill
  3. (영어) Munkres, James R. (2000년). 《Topology》. Prentice Hall
  4. (영어) Bredon, Glen E. (1993년). 《Topology and Geometry》. Springer
  5. (한국어) 박대희, 안승호 (2009년). 《위상수학》. 경문사
  6. 김승옥, 《위상수학 - 집합론을 중심으로》, 경문사, 2004
  7. (프랑스어) Baire, R. (1899년). Sur les fonctions de variables réelles. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 3: 1–123. JFM 30.0359.01.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]