베르의 범주 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

베르의 범주 정리(영어: Baire category theorem, -範疇定理) 또는 베르의 정리(독일어: Satz von Baire)는 위상수학의 정리 중 하나이다. 프랑스 수학자 르네루이 베르(René-Louis Baire)의 이름이 붙어 있다. 이 정리는 어떤 위상공간베르 공간, 즉 공집합이 아닌 열린 부분집합이 제2 범주인 공간이 될 충분조건을 찾으려는 연구의 결과로, 베르의 1899년 박사학위 논문에서 증명되었다.

이 이름으로 불리는 정리는 두 가지가 있는데, 일부 위상수학 교과서에서는 제1 범주 정리만을 '베르의 범주 정리'로 부르기도 하나[1][2] 대부분의 교과서에서는 두 가지 정리를 모두 소개하고 있다.[3][4][5][6]

베르의 제1 범주 정리[편집]

베르의 제1 범주 정리는 다음과 같다.[3]

베르의 제2 범주 정리[편집]

베르의 제2 범주 정리는 다음과 같다.[6]

책에 따라 이 정리의 조건이 '콤팩트 하우스도르프 공간'으로 바뀔 때가 있다.[3] 하지만 콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이므로 위의 형태가 더 일반적인 정리이다.

응용[편집]

베르의 범주 정리를 응용하면 다음과 같은 여러 흥미로운 결과를 얻을 수 있다.

연속이지만 어떤 점에서도 미분가능하지 않은 함수[편집]

베르의 제1 범주 정리의 귀결로, 예컨대 [0, 1]에 정의된 실수함수연속이지만 어떤 점에서도 미분가능하지 않은 함수가 존재함을 보일 수 있다.[7] 증명의 개략은 다음과 같다.

  1. (보조정리) X가 베르 공간이고 B를 성질 E를 만족하는 X 원소의 모임이라고 하자. 이때 X-B가 제1 범주이면 B는 공집합이 아니다. B가 공집합이라면 X가 제1 범주가 되는데 베르 공간의 공집합이 아닌 열린 부분집합은 제2 범주이기 때문이다.
  2. [0, 1]에서 모든 연속함수의 집합 C([0, 1])을 생각하자. 여기에 균등수렴위상을 주면 [0, 1]에 속하는 임의의 f, g에 대하여 거리함수를 d(f, g) := sup{|f(x) - g(x)||x∈[0, 1]} 와 같이 잡을 수 있다. 연속함수들로 이루어진 코시 수열은 어떤 한 함수로 수렴하므로 이렇게 만들어진 공간은 완비 거리공간이고, 베르의 제1 범주 정리에 의해 베르 공간이다.
  3. 이제 '[0, 1] 안의 적어도 한 점에서 미분가능한 연속함수의 집합'을 D라 할 때, D가 C([0, 1]) 안에서 제1 범주임을 보이면 된다. D가 제1 범주이면 C([0, 1])-D는 위의 보조정리에 의해 공집합이 아니기 때문이다.

모든 유리수에서만 연속인 함수[편집]

베르의 범주 정리를 이용하면 실수가 정의역인 실수값 함수 중 모든 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다는 것도 보일 수 있다.[8] 증명의 개략은 다음과 같다.

  1. R이 실수 집합, A가 R의 조밀 부분집합일 때 함수 f:R → R이 A의 모든 점에서 연속이라고 하자. 이 경우 f가 연속이 아닌 R의 점은 제1 범주의 집합을 이룬다는 것을 베르의 범주 정리를 이용해서 증명할 수 있다.
  2. 유리수 집합은 실수의 조밀 부분집합이므로, 위의 1에 의해 f가 모든 유리수에서만 연속일 경우 무리수 집합은 제1 범주가 되고, 이 경우 유리수 집합은 제2 범주가 된다. 그런데 유리수 집합은 제1 범주이므로 모순이다. 따라서, 모든 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 유정옥, 《알기쉬운 위상수학》, 교우사, 2006, 345쪽.
  2. 해석학 관점에서 이 정리를 소개할 때도 이런 경우가 있다. 예로 Walter Rudin (1987), Real and complex analysis, McGraw-Hill, p.97.
  3. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, p.296.
  4. Glen E. Bredon (1993), Topology and Geometry, Springer, p.57.
  5. 박대희, 안승호, 《위상수학》, 경문사, 2009, 415쪽, 417쪽.
  6. 김승옥, 《위상수학 - 집합론을 중심으로》, 경문사, 2004, 234쪽.
  7. 같은 책, 238-240쪽.
  8. 같은 책, 237-238쪽.

참고 문헌[편집]

  • James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.
  • 김승옥, 《위상수학 - 집합론을 중심으로》, 경문사, 2004.

같이 보기[편집]