초른의 보조정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 초른의 보조정리(Zorn의補助定理, 영어: Zorn’s lemma) 또는 쿠라토프스키-초른 보조정리(Kuratowski-Zorn補助定理영어: Kuratowski–Zorn lemma)는 부분 순서 집합이 극대 원소를 가질 충분조건을 제시하는 보조정리다. 선택 공리동치이다.

정의[편집]

부분 순서 집합 (P,\le)가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  • P의 임의의 사슬 C\subset PP에서 상계를 갖는다. 즉, 임의의 c\in C에 대하여 c\le pp\in P가 존재한다.

초른의 보조정리에 따르면, P는 적어도 하나의 극대 원소를 갖는다.

증명[편집]

초른의 보조 정리는 선택 공리를 사용하여 귀류법으로 다음과 같이 증명할 수 있다. 부분 순서 집합P가 이 보조정리의 반례라고 하자. 즉, P

  • 모든 전순서 부분집합은 상계를 갖고,
  • 모든 원소에 대해 그보다 더 큰 원소가 존재한다.

그렇다면, 모든 전순서 부분집합 T\subset P에 대하여 b(T)\in PT의 상계보다 큰 임의의 원소로 정의하자. 이 함수를 정의하려면 선택 공리가 필요하다.

임의의 순서수 \alpha에 대하여, 초한 귀납법으로 다음과 같은 원소열을 정의하자.

a_\alpha=b(\{a_\beta\colon\beta<\alpha\})\in P

임의의 두 순서수 \alpha,\beta에 대하여 \alpha<\beta이면 a_\alpha<a_\beta이므로, \alpha\mapsto a_\alpha순서수고유 모임 \operatorname{Ord}에서 P로 가는 단사 함수를 정의한다. 그러나 순서수고유 모임은 집합의 부분 집합이 될 수 없으므로, 모순이다. 따라서 귀류법이 성립한다.

이 증명을 통해, 약간 더 강한 형태의 초른의 보조정리 또한 사실임을 알 수 있다.

P가 그 안의 모든 정렬 순서 부분 집합이 상계를 갖는 부분 순서 집합이라 하자. 이때 P의 임의의 원소 x에 대해 그보다 같거나 큰 (즉, x와 비교 가능한) 극대 원소가 존재한다.

역사[편집]

카지미에시 쿠라토프스키1922년에 증명하였다.[1] 막스 초른1935년에 같은 정리를 발표하였고,[2] 이를 집합론의 공리로 차용할 것을 주장하였다.

"초른 (보조)정리"라는 이름은 1939년에 니콜라 부르바키가 《집합론》(프랑스어: Théorie des ensembles)에서 사용하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Kuratowski, Casimir (1922년). “Une méthode d’élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques” (프랑스어). 《Fundamenta Mathematicae》 3: 76–108. JFM 48.0205.04. 
  2. Zorn, Max (1935년). “A remark on method in transfinite algebra” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 41 (10): 667–670. doi:10.1090/S0002-9904-1935-06166-X. JFM 61.1028.01. Zbl 0012.33702. 
  3. Bourbaki, Nicolas (1939년). 《Éléments de mathématique. Première partie: Les structures fondamentales de l’analyse. I: Théorie des ensembles (fascicule de résultats)》 (프랑스어). Actualités scientifiques et industrielles 846. Paris: Hermann. JFM 65.1163.04. OCLC 718565706. Zbl 0026.38902. 
  • Ciesielski, Krzysztof (1997년). 《Set theory for the working mathematician》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59465-0. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]