초른의 보조정리

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초른의 보조 정리 또는 쿠라토프스키-초른 보조 정리막스 초른의 이름을 딴 집합론의 정리로서, 그 내용은 다음과 같다.

그 안의 모든 완전순서 부분집합상계를 갖는 공집합이 아닌 부분순서집합은 적어도 하나의 극대원소를 포함한다.

여기에서 (P,≤)가 부분순서집합일 때 그 부분집합 T에 속하는 임의의 s와 t에 대해 언제나 st이거나 ts일 경우 T를 완전순서집합이라 한다. 어떤 T의 원소 t에 대해서나 tu를 만족하는 P의 원소 u가 있으면, T가 상계 u를 갖는다고 한다. (여기에서 uT의 원소일 필요는 없다.) m이 P최대원소라 함은 mx를 만족하는 유일한 P의 원소 x가 바로 m 자신인 경우를 말한다.

증명 요약[편집]

초른의 보조 정리에 대한 증명을 요약하면 다음과 같다. 먼저 이 보조 정리가 거짓이라고 가정하고, P가 그 반례 - 모든 완전순서 부분집합이 상계를 갖지만 모든 원소에 대해 그보다 더 큰 원소가 존재하는 부분순서집합 - 라 하자. 그러면 임의의 완전순서 부분집합 T에 대해, T의 상계를 하나 선택할 수 있으니, b(T)를 그 상계보다 더 큰 원소로 정의하자. 실제로 함수 b를 정의하기 위해서는 선택공리를 사용해야 한다.

함수 b를 이용해 P의 원소열 a0 < a1 < a2 < a3 < ...을 정의하겠다. 여기에서 첨자는 자연수들만이 아니라, 모든 서수들에 대해서 취해지는 것이다. 사실 이 원소열은 P에 속하기에는 너무 길다. 서수는 어떤 집합의 원소들 보다도 많이 있기 때문에, 이 원소열이 P에 포함된다는 사실로부터 모순이 발생하여 우리의 주장이 증명될 것이다.

ai들은 초한반복을 통해 정의된다. 먼저 P는 공집합에 대한 상계를 가지니 따라서 그 자신은 공집합일 수 없고, 따라서 a0를 P의 임의의 원소로 놓을 수 있다. 이제 임의의 다른 서수 w에 대해 aw = b({av: v < w})로 정의하면 된다. ({av: v < w}은 완전순서집합이다.)

이 증명을 통해, 약간 더 강한 형태의 조른의 보조정리 또한 사실임을 알 수 있다.

P가 그 안의 모든 정렬순서 부분집합이 상계를 갖는 부분순서집합이라 하자. 이때 P의 임의의 원소 x에 대해 그보다 같거나 큰 (즉, x와 비교 가능한) 극대원소가 존재한다.

역사[편집]

초른의 보조 정리는 카지미에시 쿠라토프스키에 의해 1922년에, 그리고 막스 초른에 의해 1935년에 독립적으로 발견되었다.

참고 문헌[편집]

  • Ciesielski, Krzysztof (1997년). 《Set Theory for the Working Mathematician》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59465-0

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]