초른의 보조정리

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수학에서, 초른의 보조정리(Zorn의補助定理, 영어: Zorn’s lemma) 또는 쿠라토프스키-초른 보조정리(Kuratowski-Zorn補助定理영어: Kuratowski–Zorn lemma)는 막스 초른의 이름을 딴 집합론의 정리이다.

정의[편집]

초른의 보조정리는 다음과 같다. 부분순서집합 (P,≤)가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  1. P는 공집합이 아니다.
  2. P의 모든 전순서 부분집합은 상계를 갖는다.

그렇다면, P는 적어도 하나의 극대원소를 포함한다.

여기에서 (P,≤)가 부분순서집합일 때 그 부분집합 T에 속하는 임의의 s와 t에 대해 언제나 st이거나 ts일 경우 T전순서 집합이라 한다. 어떤 T의 원소 t에 대해서나 tu를 만족하는 P의 원소 u가 있으면, T가 상계 u를 갖는다고 한다. (여기에서 uT의 원소일 필요는 없다.) m이 P최대원소라 함은 mx를 만족하는 유일한 P의 원소 x가 바로 m 자신인 경우를 말한다.

증명[편집]

초른의 보조 정리는 선택 공리를 사용하여 귀류법으로 다음과 같이 증명할 수 있다. 부분순서집합P가 이 보조정리의 반례라고 하자. 즉, P

  1. 공집합이 아니고,
  2. 모든 전순서 부분집합은 상계를 갖고,
  3. 모든 원소에 대해 그보다 더 큰 원소가 존재한다.

그렇다면, 모든 전순서 부분집합 T\subset P에 대하여 b(T)\in PT의 상계보다 큰 임의의 원소로 정의하자. 이 함수를 정의하려면 선택 공리가 필요하다.

그렇다면, 모든 순서수 \kappa에 대하여, 초한귀납법으로 다음과 같은 원소열을 정의할 수 있다.

a_\kappa=b(\{a_\lambda\colon\lambda<\kappa\})\in P

원소열

a_0<a_1<\cdots<a_\omega<a_{\omega+1}<\cdots

의 길이는 그 어느 집합의 크기보다 더 크므로, 이는 P의 부분집합일 수 없다. 즉, 순서수들의 모임은 그 어떤 집합보다도 더 많은 원소를 가지므로, 이 원소열이 P에 포함된다는 사실은 모순되고, 따라서 귀류법이 성립한다.

이 증명을 통해, 약간 더 강한 형태의 초른의 보조정리 또한 사실임을 알 수 있다.

P가 그 안의 모든 정렬순서 부분집합이 상계를 갖는 부분순서집합이라 하자. 이때 P의 임의의 원소 x에 대해 그보다 같거나 큰 (즉, x와 비교 가능한) 극대원소가 존재한다.

역사[편집]

카지미에시 쿠라토프스키1922년에 증명하였다.[1] 막스 초른1935년에 같은 정리를 발표하였고,[2] 이를 집합론의 공리로 차용할 것을 주장하였다.

"초른 (보조)정리"라는 이름은 1939년에 니콜라 부르바키가 《집합론》(프랑스어: Théorie des ensembles)에서 사용하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Kuratowski, Casimir (1922년). Une méthode d’élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques. 《Fundamenta Mathematicae》 3: 76–108. JFM 48.0205.04.
  2. (영어) Zorn, Max (1935년). A remark on method in transfinite algebra. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 41 (10): 667–670. doi:10.1090/S0002-9904-1935-06166-X. Zbl 0012.33702. JFM 61.1028.01.
  3. (프랑스어) Bourbaki, Nicolas (1939년). 《Éléments de mathématique. Première partie: Les structures fondamentales de l’analyse. I: Théorie des ensembles (fascicule de résultats)》, Actualités scientifiques et industrielles 846. Paris: Hermann. Zbl 0026.38902. JFM 65.1163.04
  • Ciesielski, Krzysztof (1997년). 《Set theory for the working mathematician》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59465-0

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]