사용자:Kobmuiv/리 대수

 

수학에서 리 대수는 야코비 항등식이 성립하는 교대 쌍선형 사상 ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$인 리 괄호라는 연산이 주어진 선형 공간 ${\mathfrak {g}}$이다. 다르게 말하면, 리 대수는, 어떤 체 $K$에 대해, 곱셈 연산이 리 괄호라고 불리는 $K$-대수에 교대성과 야코비 항등식 조건이 추가된 대수 구조이다. 두 원소 $x$, $y$의 리 괄호는 $[x,y]$로 표시된다. 리 괄호는 결합적일 필요가 없기 때문에, 리 대수는 비결합 대수일 수 있다. 결합 대수(예: 정사각 행렬의 공간)가 주어지면 리 괄호는 교환자 $[x,y]=xy-yx$를 통해 정의될 수 있다. 이는 기존 곱셈 연산 외에 리 괄호를 올바르게 정의한다.

리 대수는 매끄러운 다양체이기도 한 군인 리 군과 밀접하게 관련되어 있다. 모든 리 군은 항등원의 접공간인 리 대수를 생성한다. 반대로, 실수 또는 복소수에 대한 유한 차원 리 대수에는 유한 덮개까지 고유하게 연결된 해당 리 군이 있다( 리의 세 번째 정리 ). 이 대응을 통해 리 대수 측면에서 리 군의 구조와 분류를 연구할 수 있다.

물리학에서 물리계를 묘사하는 수학적 모형의 대칭 군은 리 군으로 나타나며, 리 대수(항등원 근처의 접벡터)는 무한소 대칭 운동으로 여길 수 있다. 따라서 리 대수와 그 표현은 물리학, 특히 양자역학과 입자물리학에서 광범위하게 사용된다.

외적에 의해 정의된 리 괄호 연산 $[x,y]=x\times y$이 주어진 3차원 벡터 공간 ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$은 결합대수에서 유도되지 않은 기본 예이다. 이는 반대칭 $x\times y=-y\times x$이므로, 결합법칙 대신 야코비 항등식

$x\times (y\times z)\ =\ (x\times y)\times z\ +\ y\times (x\times z).$

이 성립한다. 이것은 공간 회전의 리 군의 리 대수이며, 각 벡터 $v\in \mathbb {R} ^{3}$는 축 $v$을 중심으로 속도 $v$로 무한한 회전으로 묘사될 수 있다. 리 괄호는 두 회전 사이의 비가환성을 측정한 것이다. 회전은 자체적으로 교환 하므로 교대성 $[x,x]=x\times x=0$이 있다.

역사

리 대수는 1870년대 마리우스 소푸스 리에 의해 무한소 변환의 개념을 연구하기 위해 소개되었으며, 1880년대 빌헬름 킬링에 의해 독립적으로 발견되었다. 리 대수라는 이름은 1930년대 헤르만 바일에 의해 명명되었다. 오래된 문헌에서는 무한 군이라는 용어가 사용된다.

정의

리 대수의 정의

리 대수는 다음 공리들을 만족하는 리 괄호라고 부르는 이항 연산 $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$이 주어진 어떤 체 $F$ 위에서 선형 공간$\,{\mathfrak {g}}$이다.

• 쌍선형성 $\forall a,b,\in F$, $\forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}$,

$[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],$

$[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

• 교대성

$\forall x\in {\mathfrak {g}},\;[x,x]=0$

• 야코비 항등식

$\forall x,y,z\in {\mathfrak {g}},\;[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$

쌍선형성을 사용하여 리 괄호 확장 $[x+y,x+y]$과 교대성을 사용하면, $\forall x,y\in {\mathfrak {g}}$, $[x,y]+[y,x]=0\$. 이는 쌍선형성과 교대성이 함께

• 반교환성 $\forall x,y\in {\mathfrak {g}}$,

$[x,y]=-[y,x]$

가 암시됨을 보여준다. 체의 표수가 2가 아닌 경우 반교환성은 교대성$[x,x]=-[x,x]$을 의미한다.

리 대수는 ${\mathfrak {g,h,b,n}}$과 같은 소문자 프락투어 문자로 표시하는 것이 관례이다. 리 대수가 리 군과 연관되어 있으면 대수는 군의 이름을 프락투어로 바꾸어 표시한다. 예를 들어 SU(n)의 리 대수는 ${\mathfrak {su}}(n)$과 같다.

생성원과 차원

리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 원소들은 이러한 원소를 포함하는 가장 작은 부분대수가 ${\mathfrak {g}}$과 같은 경우 ${\mathfrak {g}}$를 생성한다고 한다. 리 대수의 차원은 $F$ 위의 선형 공간으로서의 차원이다. 리 대수의 최소 생성 집합의 기수는 항상 해당 차원보다 작거나 같다.

다른 작은 예는 저차원 실수 리 대수의 분류 참조.

부분 대수, 이데알, 준동형 사상

리 괄호는 결합법칙을 만족할 필요가 없다. 즉, $[[x,y],z]$와 $[x,[y,z]]$가 같을 필요는 없다. 그러나 $\forall x,y\in {\mathfrak {g}}$, $[x,[y,x]]=[[x,y],x]$는 성립한다. 즉, 유연한 대수이다. 그럼에도 불구하고 결합 환과 대수학의 용어 중 대부분은 일반적으로 리 대수에 적용된다. 리 부분 대수는 리 괄호에 대해 닫혀 있는 부분 선형 공간 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$이다. 리 대수의 이데알 ${\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}$는 환에서 보다 더 강한 조건인

$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}$

을 만족하는 리 부분 대수이다. 리 대수 준동형사상은 각각의 리 괄호와 호환되는 선형 사상이다:

$\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.$

결합 환의 경우 이데알은 정확하게 준동형사상의 핵이다. 리 대수 ${\mathfrak {g}}$와 리 대수 이데알 ${\mathfrak {i}}$가 주어지면, 그 안에서 몫 리 대수 ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$를 구성한다. 그리고 제 1 동형정리는 리 대수에서도 성립한다.

리 괄호는 해당 리 군의 일종의 무한소 교환자이므로 두 원소 $x,y\in {\mathfrak {g}}$에 대해 $[x,y]=0$이면 교환한다고 말한다.

부분집합 $S\subset {\mathfrak {g}}$의 중심화 부분 대수${\textstyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)}$는 $S$와 교환하는 원소의 집합이다:

$${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}$$

${\mathfrak {g}}$의 중심화는 그 자체가 중심 ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$이다. 마찬가지로, 부분 공간 $S$에 대해 $S$의 정규화 부분대수는

$${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}$$

이다. 마찬가지로, 만약 $S$가 부분 리 대수이면, ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$는 $S$가 ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$의 이데알이 되는 가장 큰 부분대수이다.

예

${\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2)$에 대해, 두 원소$g\in {\mathfrak {gl}}(2)$, $d\in {\mathfrak {d}}(2)$의 교환자:

${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

는 ${\mathfrak {d}}(2)$가 부분 대수이지만 이데알이 아님을 보여준다. 실제로, 리 대수의 모든 1차원 선형 부분 공간은 일반적으로 이데알이 아닌 유도된 아벨 리 대수 구조를 갖는다. 단순 리 대수의 경우 모든 아벨 리 대수는 결코 리 대수 이데알이 될 수 없다.

직접합과 반직접곱

두 가지 리 대수 ${\mathfrak {g^{}}}$, ${\mathfrak {g'}}$들의 직합 리 대수는 이항 연산

$[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y'])$

이 주어진 모든 쌍 ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$으로 구성된 선형 공간 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}$이다. .그래서 ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'$의 사본은 서로 교환한다: $[(x,0),(0,x')]=0.$

${\mathfrak {g}}$가 리 대수이고 ${\mathfrak {i}}$는 ${\mathfrak {g}}$의 이데알이라 하자. 표준 사상${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$이 분할(즉, 섹션 허용)되면, ${\mathfrak {g}}$는 ${\mathfrak {i}}$ 와 ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$의 반직접곱 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}$이라고 한다. 이라 한다. 리 대수의 반직합도 참조.

레비 정리는 모든 유한 차원 리 대수는 근기와 여부분 대수(레비 부분 대수)의 반직접곱이라고 말한다.

미분

리 대수의 미분 ${\mathfrak {g}}$(또는 비결합 대수에서)은 라이프니츠의 법칙을 따르는 선형 사상 $\delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$이다. 즉, 모든 $x,y\in {\mathfrak {g}}$에 대해,

$\delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]$.

임의의 $x\in {\mathfrak {g}}$과 연관된 내부 미분은 $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$에 의해 정의되는 딸림 사상 $\mathrm {ad} _{x}$이다. (이것은 야코비 항등식의 결과에 따른 미분이다.) 외부 미분은 리 대수의 딸린 표현에서 나오지 않는 미분이다. 만약에 ${\mathfrak {g}}$가 반단순 리대수이면 모든 미분은 내부 미분이다.

이 미분들은 선형 공간 $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$을 형성한다. 이는 ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$의 리 부분 대수이다. 괄호는 교환자이다. 내부 미분은 $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$의 리 부분 대수를 형성한다.

예

예를 들어, 리 대수 이데알 ${\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}}$이 주어지면 ${\mathfrak {g}}$의 딸림 표현 ${\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}}$은 임의의 $x\in {\mathfrak {g}}$와 $i\in {\mathfrak {i}}$에 대해 $[x,i]\subset {\mathfrak {i}}$이므로, ${\mathfrak {i}}$ 위에 외부 미분으로 작용한다. ${\mathfrak {gl}}(n)$ 안의 상 삼각 행렬들이 이루는 리 대수 ${\mathfrak {b}}_{n}$의 경우, 강한 상 삼각 행렬(0이 아닌 원소만 행렬의 대각선 위에 있는 경우)들이 이루는 이데알 ${\mathfrak {n}}_{n}$이 있다. 예를 들어, ${\mathfrak {b}}_{3}$와 ${\mathfrak {n}}_{3}$의 원소의 교환자는

${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}0&ax&ay+bz\\0&0&dz\\0&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&dx&ex+yf\\0&0&fz\\0&0&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&(a-d)x&(a-f)y-ex+bz\\0&0&(d-f)z\\0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

이고, 이는 ${\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})$ 안에서 ${\mathfrak {b}}_{3}$로부터 외부 미분이 있음을 보여준다.

분할 리 대수

$V$를 체 $F$에 대한 유한차원 선형 공간으로 설정하면, ${\mathfrak {gl}}(V)$는 선형 변환들이 이루는 리 대수이고 ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)$는 리 부분 대수이다. 그러면, ${\mathfrak {g}}$의 모든 선형 변환의 특성 다항식의 모든 근들이 기본 체 $F$에 있으면 ${\mathfrak {g}}$를 분할되었다고 한다. 보다 일반적으로, 딸림 표현 $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$에 대해 ${\mathfrak {g}}$의 어떤 카르탕 부분 대수의 상이 분할 리 대수이면 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 분할되었다고 한다. 복소수 반단순 리 대수(실 형태와 복소화 참조)의 분할 실 형태는 분할 실 리 대수의 예이다. 자세한 내용은 분할 리 대수를 참조

선형 공간 기저

계산을 위해서는 대수에 대한 명시적 선형 공간 기저를 선택하는 것이 편리한 경우가 많다. 이 기저에 대한 일반적인 구성은 구조 상수 문서에 설명되어 있다.

범주론적 정의

위의 정의는 리 대수에 대한 기존의 이해에 충분하지만, 일단 이것이 이해되면 범주론에 공통적인 표기법을 사용하여, 개별 원소를 고려하지 않고 선형 사상, 즉, 선형 공간 범주의 사상으로 리 대수를 정의함으로써 추가적인 통찰력을 얻을 수 있다.(이 절에서 대수가 정의되는 체는 2가 아닌 표수를 갖는 것으로 가정된다.)

리 대수의 범주론적 정의를 위해서는 두 개의 땋기 동형이 필요하다. A가 선형 공간인 경우 교환 동형사상 $\tau :A\otimes A\to A\otimes A$은

$\tau (x\otimes y)=y\otimes x$$\tau (x\otimes y)=y\otimes x$

로 정의된다. 순환 순열 땋기 $\sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$는

$\sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),$

과 같이 정의된다. 여기서 $\mathrm {id}$는 항등 사상이다. 동등하게, $\sigma$는 의해 정의된다

$\sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.$

로 정의된다. 이 표기법을 사용하면 리 대수를 사상

$[\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\rightarrow A$

이 주어진 선형 공간의 범주의 대상 $A$으로 정의할 수 있다. 이는 두 가지 사상 등식

$[\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,$

그리고

$[\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0$

을 만족한다.

예

선형 공간

항등적으로 0인 리 괄호가 부여된 모든 선형 공간 $V$은 리 대수이다. 그러한 리 대수는 아벨 대수라고 불린다. 2가 아닌 표수를 가진 체에 대한 모든 1차원 리 대수는 리 괄호의 교대 성질에 의해 아벨 대수이다.

교환자 괄호가 있는 연관 대수학

• 곱셈 $(x,y)\mapsto xy$이 주어진 체 $F$ 위의 결합 대수 $A$에서, 리 괄호는 교환자 $[x,y]=xy-yx$에 의해 정의될 수 있다. 이 괄호을 사용하면, $A$는 리 대수이다. 이 때, 결합대수 $A$는 리 대수 $(A,[\,\cdot \,,\cdot \,])$의 포락대수라고 불린다. 모든 리 대수는 이러한 방식으로 결합 대수에서 발생하는 대수에 포함될 수 있다. 보편 포락 대수 참조.
• 위의 리 괄호가 주어진 $F$-선형 공간 $V$의 자기 사상들이 이루는 결합 대수는 ${\mathfrak {gl}}(V)$로 표시된다.
• 유한 차원 선형 공간 $V=F^{n}$의 경우, 이전 예는 정확히 리 괄호 $[X,Y]=XY-YX$가 주어진 n × n 행렬들의 리 대수이고 ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ 또는 ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$로 표시된다. 여기서 인접성은 행렬 곱셈을 나타낸다. 이것은 가역행렬로 구성된 일반선형군의 리 대수이다.

특수 행렬

${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$의 두 가지 중요한 부분대수들:

• 대각합이 0인 행렬은 특수 선형군 $\mathrm {SL} _{n}(F)$의 리 대수인 특수 선형 리 대수 ${\mathfrak {sl}}_{n}(F)$를 형성한다.
• 반-에르미트 행렬은 유니터리 군 $U(n)$의 리 대수인 유니터리 리 대수 ${\mathfrak {u}}(n)$를 형성한다.

행렬 리 대수

복소 행렬군 $G\subset M_{n}(\mathbb {C} )$은 행렬로 구성된 리 군이며, 여기서 $G$의 곱셈은 행렬 곱셈이다. 해당 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 $G\subset M_{n}(\mathbb {C} )$에 접벡터인 행렬들이 이루는 공간이다: 이것은 항등원에서 $G$의 매끄러운 곡선들의 미분으로 구성된다.

${\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {C} )\ \mid \ {\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.$

${\mathfrak {g}}$의 리 괄호는 행렬의 교환자 $[X,Y]=XY-YX$로 주어지며, 리 대수가 주어지면 리 군을 $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$로 정의되는 행렬 지수 사상 $\exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )$의 상으로 복구할 수 있다. 이는 모든 행렬 $X$에 대해 수렴한다. 즉, $G=\exp({\mathfrak {g}})$.

다음은 행렬 리 군의 리 대수의 예이다.

• 행렬식이 1인 n × n 행렬들로 구성된 특수 선형 군 ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )$. 이에 대한 리 대수는 복소 성분과 대각합이 0인 n × n 행렬들로 구성된 ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$이다. 마찬가지로, 이에 대응하는 실수 리 군 ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$과 리 대수 ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$을 정의할 수 있다.
• n × n 단위 행렬( $U^{*}=U^{-1}$)들로 구성된 유니터리 군 $U(n)$. 그 리 대수 ${\mathfrak {u}}(n)$는 반 자기 수반( $X^{*}=-X$) 행렬들로 구성된다.
• 행렬식 1인 직교 행렬( $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$)로 구성된 특수 직교군 $\mathrm {SO} (n)$. 그 리 대수 ${\mathfrak {so}}(n)$는 실수 대칭 행렬($X^{\rm {T}}=-X$ )들로 구성된다. 행렬식이 1인 조건이 없는 전체 직교군 $\mathrm {O} (n)$은 $\mathrm {SO} (n)$과 별도의 연결 성분으로 구성된다. 따라서 $\mathrm {SO} (n)$과 동형인 리 대수를 갖는다. 반대칭 행렬을 사용한 무한소 회전 참조. 마찬가지로 행렬에 복소 성분을 허용함으로써 이 군과 대수의 복소 버전을 정의할 수 있다.

2차원

• 임의의 체 $F$ 위에서, 동형사상을 기준으로 2차원 비아벨 리 대수는 유일하다. 생성원 x, y에 대해 해당 괄호는 $\left[x,y\right]=y$과 같이 정의된다. 이는 1 차원 아핀 군을 생성한다.

이는 행렬

$x=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).$

에 의해 실현될 수 있다. 왜냐하면, 임의의 자연수 $n$와 임의의 $c$에 대해,

$\left({\begin{array}{cc}1&c\\0&0\end{array}}\right)^{n+1}=\left({\begin{array}{cc}1&c\\0&0\end{array}}\right)$.

그 결과 리 군 원소는 단위 아래 대각선을 갖는 2×2 상 삼각 행렬임을 알 수 있다.

$\exp(a\cdot {}x+b\cdot {}y)=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)=1+{\tfrac {e^{a}-1}{a}}\left(a\cdot {}x+b\cdot {}y\right).$

3차원

• 하이젠베르크 대수 ${\rm {H}}_{3}(\mathbb {R} )$는 리 괄호

$[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0$ .

를 사용하여 x, y 및 z 원소로 생성된 3차원 리 대수이다. 이는 일반적으로 교환자 리 괄호와 기저를 사용하여 3 × 3 강한 상 삼각 행렬들의 공간으로 구현된다.

$x=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad$

하이젠베르크 군의 모든 원소는 군 생성원, 즉 이러한 리 대수 생성기의 행렬 지수의 곱으로 표현된다.

$\left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)=e^{by}e^{cz}e^{ax}~.$

• 리 대수 ${\mathfrak {so}}(3)$ SO(3) 군은 세 개의 행렬로 구성된다

$F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad$

이들 발전기 간의 교환 관계는 다음과 같다.

$[F_{1},F_{2}]=F_{3},$

$[F_{2},F_{3}]=F_{1},$

$[F_{3},F_{1}]=F_{2}.$

벡터의 외적이 리 괄호로 주어진 3차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{3}$는 위와 동일한 교환 관계를 갖는다. 따라서 ${\mathfrak {so}}(3)$과 동형이다. 이 리 대수는 양자 역학의 스핀-1 입자에 대한 일반적인 스핀(물리학) 각운동량 구성 원소 연산자와 유니터리적으로 동일하다.

무한 차원

• 무한 차원 실수 리 대수의 중요한 클래스는 미분 위상수학에서 발생한다. 미분 가능 다양체 M 의 매끄러운 벡터장의 공간은 리 대수를 형성하며, 여기서 리 괄호는 벡터장의 교환자 로 정의된다. 리 괄호를 표현하는 한 가지 방법은 리 도함수 형식을 통하는 것이다. 이는 L _X ( f )를 함수 f 의 방향 도함수로 하여 평활 함수에 작용하는 1차 편미분 연산자 L _X 로 벡터 체 X 를 식별한다. X 의 방향. 두 벡터장의 리 괄호 [ X, Y ]는 다음 공식에 따라 함수에 대한 동작을 통해 정의되는 벡터장이다.

$L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,$

• 카츠-무디 대수는 구조가 위의 유한 차원 사례와 아주 비슷한 무한 차원 리 대수의 대규모 족이다.
• 모얄 대수(Moyal algebra)는 모든 고전 리 대수를 부분 대수로 포함하는 무한차원 리 대수이다.
• 비라소로 대수는 끈 이론에서 아주 중요하다.

표현

정의

선형 공간 $V$가 주어지면, ${\mathfrak {gl}}(V)$는 괄호 $[X,Y]=XY-YX$가 주어진 $V$의 모든 선형 자기 사상으로 구성된 리 대수를 나타낸다. 구체적으로, $V$에서 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 표현은 리 대수 준동형사상

$\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$

이다. ${\text{Ker }}\pi =0$이면 충실한 표현이라고 한다. 아도의 정리는 모든 유한 차원 리 대수이 유한 차원 선형 공간에서 충실한 표현을 갖는다고 말한다.

딸림 표현

임의의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 대해, $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$로 주어진 표현

$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$

을 정의할 수 있다. 이는 벡터공간 ${\mathfrak {g}}$에서의 표현이다 이를 딸림 표현이라고 한다.

표현론의 목표

리 대수(특히 반단순 리 대수) 연구의 중요한 측면 중 하나는 표현에 대한 연구이다. (실제로 참고 문헌 절에 나열된 대부분의 책은 페이지의 상당 부분을 표현론에 할애한다.) 아도의 정리가 중요한 결과이지만 표현론의 주요 목표는 주어진 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 충실한 표현을 찾는 것이 아니다. 실제로, 반단순 리 대수의 경우, 그 딸림 표현은 이미 충실하다. 표현론의 목표는 오히려 동형사상을 기준으로 ${\mathfrak {g}}$의 가능한 모든 표현들을 이해하는 것이다. 표수 0인 체에 대한 반단순 사례에서 바일의 정리는 모든 유한 차원 표현이 기약 표현(자명하지 않은 불변 부분 공간이 없는 표현)의 직합이라고 말한다. 기약 표현은 가장 높은 가중치의 정리에 의해 분류된다.

리 대수 표현론과 물리학의 관계

리 대수의 표현론은 이론 물리학의 다양한 부분에서 중요한 역할을 한다. 여기서는 자연스러운 특정 교환 관계를 만족하는 상태 공간의 연산자들을 고려한다. 이러한 교환 관계는 일반적으로 문제의 대칭에서 비롯된다. 특히 그 관계는 관련 대칭 군의 리 대수의 관계이다. 예를 들어 각운동량 연산자는 교환 관계가 회전 군 SO(3)의 리 대수 ${\mathfrak {so}}(3)$와 같다. 일반적으로, 상태 공간은 관련 연산자 하에서 기약 상태와는 거리가 멀지만, 이를 기약 조각들로 분해하려고 시도할 수 있다. 그렇게 하려면 주어진 리 대수의 기약 표현을 알아야 한다. 예를 들어, 보통 양자역학 교과서에서 양자 수소 원자를 설명 할 때 사실상 리 대수 ${\mathfrak {so}}(3)$의 기약 표현을 분류한다. 단지 그렇다고 명시적으로 말하지 않을 뿐이다.

구조 및 분류

리 대수는 어느 정도 분류될 수 있으며, 리 군을 분류하는데 쓰인다.

아벨, 멱영, 가해 리 대수

유도된 부분 군으로 정의된 아벨, 멱영 및 가해 군과 비슷하게, 아벨, 멱영 및 가해 리 대수를 정의할 수 있다.

리 대수 ${\mathfrak {g}}$에서 리 괄호가 영이면, 즉,

$$\forall x,y\in {\mathfrak {g}},[x,y]=0$$

이면 아벨 리 대수라고 한다. 아벨 리 대수는 선형 공간 $\mathbb {K} ^{n}$ 또는 n-원환면 $\mathbb {T} ^{n}$와 같은 교환적(또는 아벨 )연결 리 군에 해당한다. 그리고 는 모두 ${\mathfrak {k}}^{n},$과 같은 형식이다. 이는 자명한 리 괄호가 있는 n 차원 선형 공간을 의미한다.

보다 일반적인 종류의 리 대수는 주어진 길이의 모든 교환자가 0인 것으로 정의된다. 감소 중심 열

${\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots$

의 마지막이 0이 되면, 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 멱영 리 대수라고 한다. 엥겔의 정리에 따르면, ${\mathfrak {g}}$가 멱영 리 대수임과 $\forall u\in {\mathfrak {g}}$, 딸림 자기사상

$\operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]$

이 멱영임과 동치이다.

더 일반적으로는 유도된 열

${\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>\cdots$

이 결국 0이 되면 리 대수 ${\mathfrak {g}}$를 가해 리 대수라고 한다.

모든 유한 차원 리 대수에는 근기라고 불리는 유일한 극대 가해 이데알이 있다. 리 대응에서, 멱영 또는 가해 연결 리 군은 각각 멱영 또는 가해 리 대수에 해당한다.

단순 리 대수와 반단순 리 대수

리 대수는 자명하지 않은 이데알이 없고 아벨이 아닌 경우 단순 리 대수라고 한다. (이것은 1차원(반드시 아벨) 리 대수는 비록 그것이 자명한 이데알을 갖고 있지 않더라도 정의상 단순하지 않다는 것을 의미한다.) 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 단순 대수들의 직합과 동형이면 반단순 리대수라고 한다. 0이 아닌 가해 이데알을 갖지 않는 것과 같이 반단순 대수에는 몇 가지 동등한 특징이 있다.

리 대수의 반단순성 개념은 표현의 완전 환원성(반단순성)과 밀접하게 관련되어 있다. 기반 체 $F$가 표수 0을 가질 때, 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 표현은 반단순이다(즉, 기약 표현의 직합). 일반적으로 리 대수는 딸림 표현이 반단순이면 가약 리 대수라고 한다. 따라서 반단순 리 대수는 가약이다.

카르탕의 판별법

카르탕의 판별법은 리 대수가 멱영이거나, 가해이거나, 반단순인 조건을 제공한다. 이는 ${\mathfrak {g}}$ 위의 대칭 쌍선형 형식인 킬링 형식

$K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),$

의 개념을 기반으로 한다. 여기서 tr은 선형 연산자의 대각합이다. 이때,

• 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 반단순 리 대수이다 $\Longleftrightarrow$ 킬링 형식이 비퇴화이다.
• 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 가해 리대수 이다$\Longleftrightarrow$$K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.$

분류

레비 분해는 임의의 리 대수를 가해 근기와 반단순 리 대수의 반직합으로 거의 표준적 방식으로 표현한다. (이러한 분해는 표수 0의 체에 대한 유한 차원 리 대수에 대해 존재한다.) 또한 대수적으로 닫힌 체에 대한 반단순 리 대수는 근계를 통해 완전히 분류되었다.

리 군과의 관계

한 점에서 구의 접공간 $x$ . 만약에 $x$ 가 항등 원소이면 접공간도 리 대수이다.

리 대수는 종종 그 자체로 연구되지만 역사적으로 리 군을 연구하는 한 가지 방법으로 등장했다.

이제 리 군과 리 대수 사이의 관계를 간략하게 설명한다. 모든 리 군은 표준적으로 결정되는 리 대수(구체적으로 항등식의 접공간)를 생성한다. 반대로 유한차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 경우, 리 대수 ${\mathfrak {g}}$를 갖는 어떤 연결 리 군 $G$이 존재한다. 이는 리의 세 번째 정리이다. 베이커–켐벨–하우스도르프 공식 참조. 표준적으로 리 대수 ${\mathfrak {g}}$를 결정하는 리 군은 유일하지 않지만, 동일한 리 대수를 갖는 두 개의 리 군은 국소적으로 동형이며 특히 동일한 범피복을 갖는다. 예를 들어, 특수 직교 군 SO(3)과 특수 유니터리 군 SU(2)는 둘 다 외적이 주어진 $\mathbb {R} ^{3}$과 동형인 리 대수를 생성한다. 하지만 SU(2)는 SO(3)의 단순 연결 이중 덮개이다.

그러나 단순 연결 리 군을 고려하면 일대일 대응이 된다. 각각의 (유한차원 실수) 리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 대해, 리 대수 ${\mathfrak {g}}$를 갖는 단순 연결 리 군 $G$이 유일하게 존재한다.

리 대수와 리 군의 대응 관계는 리 군의 분류 및 리 군의 표현론 관련 내용을 포함하여 여러 가지 방법으로 사용된다. 리 대수의 모든 표현은 해당 연결 또는 단순 연결 리 군의 표현으로 변환되며, 반대로 리 군의 모든 표현은 군의 리 대수의 표현을 유도한다. 특히, 리 대수와 리 군의 표현은 일대일 대응이다. 그러므로 리 대수의 표현을 알면 대응하는 리 군 표현에 대한 문제가 해결된다.

분류를 위해, 주어진 리 대수를 갖는 모든 연결 리 군들은 이산 중심 부분 군을 법으로 범피복과 동형임을 알 수 있다. 따라서 리 군을 분류하는 것은, 일단 리 대수의 분류가 알려지고 나면 중심의 이산 부분 군들을 계산하는 문제가 된다.(반단순 리 대수 경우 카르탕 등에 의해 해결됨)

리 대수가 무한 차원이면 문제는 더욱 미묘하다. 많은 경우에 지수 사상은 국소적으로 동형이 아니다(예를 들어, $\mathrm {Diff} (S^{1})$에서는 지수 사상의 상에는 없지만 항등원에 임의로 가까운 미분동형사상을 찾을 수 있다). 게다가 일부 무한 차원 리 대수들은 어떤 군의 리 대수도 아니다.

실 형태와 복소화

주어진 복소 리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 대해, 실수 리 대수 ${\mathfrak {g}}_{0}$는 복소화 ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$가 ${\mathfrak {g}}$와 동형일 때, ${\mathfrak {g}}$의 실 형태라고 한다. 실 형태는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$에 대해 두 가지 실 형태 ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R}$과 ${\mathfrak {su}}_{2}$가 있다.

반단순 유한 차원 복소 리 대수 ${\mathfrak {g}}$이 주어지면, 분할 형태는 분할되는 실 형태이다. 즉, 실수 고유값을 가진 딸림 표현을 통해 작용하는 카르탕 부분 대수를 가지고 있다. 분할 형태는 유일하게 존재한다(동형사상 기준). 콤팩트 형태는 콤팩트 리 군의 리 대수인 실 형태이다. 콤팩트 형태는 유일하게 존재한다.

추가적 구조가 있는 리 대수

리 대수에는 괄호와 호환되는 것으로 가정되는 몇 가지 구조가 추가 될 수 있다. 예를 들어, 등급 리 대수는 등급 선형 공간 구조를 갖는 리 대수이다. 미분도 함께 제공되면(기저 등급 선형 공간이 사슬 복합체가 되도록) 미분 등급 리 대수라고 한다.

단순 리 대수는 리 대수 범주의 단체 대상이다. 즉, 기본 집합을 단체 집합으로 대체하여 얻는다(따라서 리 대수의 족으로 생각하는 것이 더 나을 수 있음).

리 환

리 환은 리 대수의 일반화로 발생하거나 부분 중심열 군에 대한 연구를 통해 발생한다. 리 환은 반교환적이고 야코비 항등식을 만족하는 곱셈을 사용하는 비결합 환으로 정의된다. 좀 더 구체적으로 리 환 $L$을 정의할 수 있다. 이항 연산 $[\cdot ,\cdot ]$이 있는 아벨 군이 되려면 이는 다음과 같은 성질을 가지고 있다:

• 쌍선형성: 모든 $x,y,z\in L$ 에 대해

$[x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]$

• 야코비 항등식 모든 $x,y,z\in L$ 에 대해,

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\quad$

• 모든 $x\in L$에 대해,

$[x,x]=0\quad$

리 환은 덧셈에 대해 리 군일 필요는 없다. 모든 리 대수는 리 환의 예이다. 모든 결합 환에 대해 리 괄호 연산자 $[x,y]=xy-yx$를 정의하여 리 환으로 만들 수 있다. 반대로, 모든 리 대수에 대응하는 보편 포락 대수라고 불리는 환이 있다.

리 환은 라자르 대응을 통해 유한 p-군 연구에 사용된다. p-군의 부분 중심 원소는 유한 아벨 p-군이므로 Z/pZ 위의 가군이다. 부분 중심 원소의 직합은 괄호를 두 coset 대표원의 교환자로 정의하여 리 환의 구조를 제공한다. 리 환 구조는 또 다른 가군 준동형사상, 즉 p 번째 멱 사상으로 더욱 풍부하게 되어 연관된 리 환을 소위 제한된 리 환으로 만든다.

리 환은 p-진 정수와 같은 정수 환에 대한 리 대수를 연구함으로써 p-진 해석 군과 그들의 자기 사상을 정의하는 데에도 유용하다. 슈발레에 의한 리 유형의 유한 군 정의에는 복소수에 대한 리 대수에서 정수에 대한 리 대수로 제한한 다음 p를 법으로 줄여서 유한 체에 대한 리 대수를 얻는 것이 포함된다.

예

• 체 대신 일반 환에 대한 모든 리 대수는 리 환의 예이다. 리 환은, 그 이름에도 불구하고, 덧셈에 대한 리 군이 아니다.
• 리 괄호 연산자

$[x,y]=xy-yx.$

를 정의하여 모든 결합 환을 리 환으로 만들 수 있다.

• 군 연구에서 발생하는 리 환의 예를 들어 보겠다. $G$를 교환자 연산 $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$이 주어진 군이라 하고, $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$를 $G$의 중심열이라 하자 — 이는 모든 $i,j$ 에 대해 교환자 부분 군$[G_{i},G_{j}]$이 $G_{i+j}$에 포함되어 있다는 뜻이다. 그러면

$L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}$

는 군 연산(각 동차 부분에서 아벨 연산)과 다음과 같이 제공되는 리 괄호 연산에 의해 제공되는 덧셈이 포함된 리 환이다.

$[xG_{i},yG_{j}]=[x,y]G_{i+j}\$

이는 선형적으로 확장된다. 열의 중심성은 교환자 $[x,y]$가 리 괄호 연산에 적절한 리 이론적 성질을 제공한다.

같이보기

• 리 대수의 딸림 표현
• 아핀 리 대수
• 대칭 리 대수
• 세르 관계
• 준 프로베니우스 리 대수
• 제한된 리 대수
• 리 대수의 자기 동형 사상
• 준 리 대수
• 자유 리 대수
• 리 대수 코호몰로지
• 겔판드-푹스 코호몰로지
• 리 대수 확대
• 리 대수 표현
• 리 쌍대수
• 리 여대수
• 리 오퍼라드
• 리 초대수
• 양자 군
• 모얄 대수
• 푸아송 대수
• 애니온 리 대수

참고 문헌

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외부 링크

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