레비의 정리

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레비의 정리(Levi's theorem, -定理)는 실해석학복소해석학정리로, 르베그 적분무한급수 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장해 주는 정리이다. 이탈리아아르헨티나 수학자 베포 레비(Beppo Levi)가 증명하였다.[1]

정의[편집]

레비의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.[2]:29 {fn}이 어떤 측도 공간 X 위에서 정의된 복소 가측 함수의 열이라 하자. 만약 다음이 성립한다면,

급수 거의 모든 에서 절대수렴하고, 다음이 성립한다.

증명[편집]

라 두면 단조 수렴 정리에 의하여,

를 얻고, 이것이 유한한 값이 된다. 따라서 이다. 또한 거의 모든 에 대해 g는 유한한 값이며 절대수렴한다. 이제 지배 수렴 정리를 이용하면, k = 1, 2, ...에 대하여

에서 결과를 얻는다.

각주[편집]

  1. 이 정리에 레비의 이름이 붙어 있는 것은 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002, 30쪽 참고.
  2. Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.