환 (수학)

추상대수학에서, 환(環, 영어: ring)은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙을 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 추상대수학의 분야를 환론(環論, 영어: ring theory)이라고 한다.

가환환은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 대수기하학 및 대수적 수론과 깊은 관련이 있는 가환대수학의 하위 분야이다. 최근(1980년대 이후)에는 비가환 기하학과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다.

환에 대한 관련된 개념으로, 환의 표현(혹은 가군)이나 군환, 나눗셈환, 보편포락대수 등의 특수한 환 및 인접 분야인 호몰로지 대수학 등이 있다.

정의

집합 R과 이항연산 +과 ∗가 다음 조건을 만족하면 (R, +, ∗)를 환이라 한다. 이 때 흔히 +을 ‘덧셈’, ∗을 ‘곱셈’이라 부르지만, 꼭 수에서의 덧셈과 곱셈과 같은 연산일 필요는 없다.

• (R, +)가 아벨 군일 것:
  • 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c)
  • 교환법칙: a + b = b + a
  • 항등원: 0 + a = a + 0 = a
  • 역원: 모든 a에 대해 a + −a = −a + a = 0인 -a가 존재한다.
• ∗에 대해 결합법칙이 성립할 것:
  • 결합법칙: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
• +, ∗에 대해 분배법칙이 성립할 것:
  • a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c
  • (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c

환의 정의에 따라 곱셈에 대한 항등원, 즉 단위원이 있을 것을 요구하기도 한다. 만약 두 가지 정의를 구분해서 써야 할 경우, 단위원이 없는 환을 유사환이라고 부른다.

• ∗에 대한 항등원이 있을 것: 1 ∗ a = a ∗ 1 = a

환은 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립해야 하지만, 곱셈에서는 그러한 조건이 필요하지 않다. 곱셈에서도 교환법칙이 성립하는 환을 가환환이라고 부른다.

환에서는 곱셈에 대해서 역원이 꼭 필요하지는 않다. 역원이 존재하는 원소가 있는 경우, 그 원소를 가역원라고 부른다.

성질

환에서는 다음이 성립한다.

• 0 ∗ a = a ∗ 0 = 0

증명
: 0 ∗ a = (0 ∗ a) + 0 = (0 ∗ a) + ((0 ∗ a) + (−(0 ∗ a)) = ((0 ∗ a) + (0 ∗ a)) + (−(0 ∗ a)) = ((0 + 0) ∗ a) + (−(0 ∗ a)) = (0 ∗ a) + (−(0 ∗ a)) = 0 마찬가지로, a ∗ 0 = (a ∗ 0) + 0 = (a ∗ 0) + ((a ∗ 0) + (−(a ∗ 0)) = ((a ∗ 0) + (a ∗ 0)) + (−(a ∗ 0)) = (a ∗ (0 + 0)) + (−(a ∗ 0)) = (a ∗ 0) + (−(a ∗ 0)) = 0

임의의 x의 덧셈에 대한 역원을 -x라고 할 때,

• (−1) ∗ a = a ∗ (−1) = −a

증명
: (−1) ∗ a = ((−1) ∗ a) + 0 = ((−1) ∗ a) + ((1 ∗ a) + (−(1 ∗ a))) = (((−1) ∗ a) + (1 ∗ a)) + (−(1 ∗ a)) = (((−1) + 1) ∗ a) + (−(1 ∗ a)) = (0 ∗ a) + (−(1 ∗ a)) = 0 + (−(1 ∗ a)) = −(1 ∗ a) = −a 마찬가지로, a ∗ (−1) = (a ∗ (−1)) + 0 = (a ∗ (−1)) + ((a ∗ 1) + (−(a ∗ 1))) = ((a ∗ (−1)) + (a ∗ 1)) + (−(a ∗ 1)) = (a ∗ ((−1) + 1)) + (−(a ∗ 1)) = (a ∗ 0) + (−(a ∗ 1)) = 0 + (−(a ∗ 1)) = −(a ∗ 1) = −a

• (−a) ∗ b = a ∗ (−b) = −(a ∗ b)

증명
: (−a) ∗ b = ((−a) ∗ b) + 0 = ((−a) ∗ b) + ((a ∗ b) + (−(a ∗ b))) = (((−a) ∗ b) + (a ∗ b)) + (−(a ∗ b)) = (((−a) + a) ∗ b) + (−(a ∗ b)) = (0 ∗ b) + (−(a ∗ b)) = 0 + (−(a ∗ b)) = −(a ∗ b) 마찬가지로, a ∗ (−b) = (a ∗ (−b)) + 0 = (a ∗ (−b)) + ((a ∗ b) + (−(a ∗ b))) = ((a ∗ (−b)) + (a ∗ b)) + (−(a ∗ b)) = (a ∗ ((−b) + b)) + (−(a ∗ b)) = (a ∗ 0) + (−(a ∗ b)) = 0 + (−(a ∗ b)) = −(a ∗ b)

a와 b의 곱셈에 대한 역원이 모두 존재할 경우, (다시 말해, a와 b가 모두 가역원이라면,)

• (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹

증명
: (a ∗ b) ∗ (b⁻¹ ∗ a⁻¹) = (a ∗ (b ∗ b⁻¹)) ∗ a⁻¹ = (a ∗ 1) ∗ a⁻¹ = a ∗ a⁻¹ = 1 마찬가지로, (b⁻¹ ∗ a⁻¹) ∗ (a ∗ b) = (b⁻¹ ∗ (a⁻¹ ∗ a)) ∗ b = (b⁻¹ ∗ 1) ∗ b = b⁻¹ ∗ b = 1 역원의 정의에 의하여 (a ∗ b)⁻¹ = b⁻¹ ∗ a⁻¹

종류

• 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 환을 가환환, 그렇지 않은 환을 비가환환이라 한다.
• 원소가 하나밖에 없는 환 {0}을 자명환이라 한다. 이 경우 곱셈에 대한 항등원과 덧셈에 대한 항등원이 같다.
• 만약 덧셈에 대한 항등원 0을 제외한 모든 환의 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지고 있다면 이를 나눗셈 환 또는 비가환체라고 부른다.
• 비가환체가 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다면 체라고 한다.

예

• 정수의 집합 $\mathbb {Z}$에 (표준적인) 덧셈과 곱셈을 부여하면, 가환환을 이룬다.
• 모든 체는 환을 이룬다. 예를 들어, 유리수의 집합 $\mathbb {Q}$, 실수의 집합 $\mathbb {R}$, 복소수의 집합 $\mathbb {C}$는 체이며 따라서 환을 이룬다.
• $n$이 양의 정수일 때, 몫환 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$는 환을 이룬다. 이 몫환은 합동 산술의 기초를 이룬다.
• 위상 공간 $X$ 위에 정의된 실수 연속 함수의 집합 ${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )$은 가환환을 이룬다. 이때, 연산은 각 함수값의 덧셈과 곱셈이다. 즉, 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 합과 곱은 다음과 같은 값을 갖는 함수로 정의한다.

  $f+g\colon x\mapsto f(x)+g(x)$

  $fg\colon x\mapsto f(x)g(x)$

• 어떤 환 $R$이 주어졌을 때, 다항식환 $R[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]$은 환을 이룬다. 만약 $R$가 가환환이라면 다항식환 역시 가환환이다.
• 환 $R$ 및 자연수 $n$이 주어졌을 때, $R$의 원소들의 $n\times n$ 정사각행렬의 집합 $\operatorname {Mat} (R;n)$은 행렬의 덧셈과 곱셈에 대하여 환을 이루며, 이를 행렬환이라고 한다. 일반적으로 이는 가환환이 아니다.
• 불 대수 $(B,\land ,\lor )$ (예를 들어, 어떤 집합의 멱집합)는 다음과 같이 가환환의 구조를 줄 수 있다.

$a+b=(a\lor b)\land \not (a\land b)$

$ab=a\land b$

역사

환의 연구는 다항식환 및 수체의 대수적 정수의 이론으로부터 출발했다. 환의 개념은 리하르트 데데킨트가 도입했으며, 처음으로 환(Zahlring)이라는 용어가 사용된 것은 다비트 힐베르트의 글 에서였다. 아브라함 프렝켈은 1914년 논문에서 처음으로 환을 엄밀히 정의했으며, 에미 뇌터는 1921년의 논문Noether, Emmy (1921). “Idealtheorie in Ringbereichen”. 《Mathematische Annalen》 83 (1–2): 24–66. doi:10.1007/BF01464225. ISSN 0025-5831.  에서 가환환의 이론을 공리적으로 전개하였다.

참고 문헌

• Lam, Tsi-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 

바깥 고리

• “Ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Associative rings and algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Unit ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 체 (수학)
• 군 (수학)
• 유사환