나눗셈환

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환론에서, 나눗셈환(-環, 영어: division ring) 또는 비가환체(非可換體, 영어: skew field)는 모든 0이 아닌 원소가 가역원인 비자명환이다.

정의[편집]

R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 나눗셈환이라고 한다.

성질[편집]

나눗셈환에 대한 가군은 모두 자유 가군이며, 사실상 선형대수학으로 완전히 다룰 수 있다.

모든 가환 나눗셈환은 이다. 웨더번 정리에 따라, 모든 유한 나눗셈환은 유한체이다. 나눗셈환의 모든 유한 부분환은 (나눗셈환이므로) 유한체이다.

나눗셈환의 중심를 이룬다. 즉, 나눗셈환은 스스로의 중심 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

나눗셈환에서는 왼쪽 아이디얼 · 오른쪽 아이디얼 · 양쪽 아이디얼의 개념이 일치하며, 영 아이디얼 (0)과 전체 아이디얼 R밖에 없다. 따라서, 나눗셈환은 자명하게 아르틴 환이자 뇌터 환이다.

분류[편집]

중심에 대하여 유한 차원 대수를 이루는 나눗셈환에 대해서는 분류가 존재한다.

K에 대하여, K를 정확히 중심으로 하는 유한 K 차원 나눗셈환들의 동형류들은 브라우어 군(영어: Brauer group)이라는 을 이룬다. 구체적으로, K 위의 두 나눗셈환

K\hookrightarrow D_1
K\hookrightarrow D_2

이 주어졌을 때, 텐서곱 K\hookrightarrow D_1\otimes D_2은 (아르틴 단순환이므로 아르틴-웨더번 정리에 따라서) 어떤 K 위의 나눗셈환 D_3 위의 행렬환과 (K-대수로서) 동형이다.

D_1\otimes D_2\cong\operatorname{Mat}(n;D_3)

이 경우, 브라우어 군에서는 D_1D_2=D_3으로 정의한다. 브라우어 군에서의 역원은 반대환 D^{-1}=D^{\operatorname{op}}이며, 항등원은 K 자체이다.

[편집]

모든 (실수체, 복소수체, p진수체, 유한체 등)는 나눗셈환이다.

대표적인 체 위의 브라우어 군은 다음과 같다.

K 브라우어 군 \operatorname{Br}K
대수적으로 닫힌 체 자명군
유한체 \mathbb F_{p^n} 자명군
실수체 \mathbb R 2차 순환군 \operatorname{Cyc}(2)
p진수체 \mathbb Q_p 덧셈군 \mathbb Q/\mathbb Z
유리수체 \mathbb Q \operatorname{Br}(\mathbb R)\oplus\bigoplus_{p=2,3,5,\dots}\operatorname{Br}(\mathbb Q_p)몫군

실수체 위의 나눗셈환[편집]

실수체 \mathbb R의 브라우어 군은 크기가 2인 군이다. 즉, 실수체를 중심으로 하는 유한 차원 나눗셈 대수는 정확히 두 개가 있으며, 이는 실수체 자체 \mathbb R사원수환 \mathbb H이다.

실수체의 유한 차수 확대는 복소수체 \mathbb C밖에 없으며, 이는 대수적으로 닫힌 체이므로 브라우어 군이 자명하다. 즉, 중심이 실수체를 포함하는, 유한 실수 차원의 나눗셈환은 \mathbb R, \mathbb C, \mathbb H 세 개밖에 없다.

p진수체 위의 나눗셈환[편집]

소수 p에 대하여, p진수체 \mathbb Q_p의 브라우어 군은 \mathbb Q/\mathbb Z와 동형이다. (이는 유체론을 사용하여 계산할 수 있다.) 즉, \mathbb Q_p를 중심으로 하는 유한 차원 나눗셈환들은 가산 무한 개이다. [1/n]\in\mathbb Q/\mathbb Z에 대응하는 나눗셈환의 차원은 n^2이다.

수체 위의 나눗셈환[편집]

유체론에 따르면, 일반적인 대수적 수체 K에 대하여, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

0\to\operatorname{Br}K\to\bigoplus_\nu\operatorname{Br}K_\nu\to \mathbb Q/\mathbb Z\to0

여기서 \textstyle\bigoplus_\nuK의 모든 위치들에 대한 직합이며, 군 준동형

\operatorname{Br}K\to\bigoplus_\nu\operatorname{Br}K_\nu

\otimes KK_\nu\colon\operatorname{Br}K\to\operatorname{Br}K_\nu

들의 직합이다.

예를 들어, 유리수체의 경우 위치는 0 또는 소수 p에 대응하며, 이 경우

\operatorname{Br}\mathbb Q_0=\operatorname{Br}\mathbb R\cong\frac12\mathbb Z/\mathbb Z
\operatorname{Br}\mathbb Q_p\cong\mathbb Q/\mathbb Z

이므로,

\operatorname{Br}\mathbb Q\cong\left(\frac12\mathbb Z/\mathbb Z\oplus\bigoplus_p\mathbb Q/\mathbb Z\right)/(\mathbb Q/\mathbb Z)

이다. 여기서 몫군의 분모인 부분군 \mathbb Q/\mathbb Z

\vec a=(a_0,a_2,a_3,a_5,\dots)\in\frac12\mathbb Z/\mathbb Z\oplus\bigoplus_p\mathbb Q/\mathbb Z
a_0\in\{0,1/2\}
a_p\in\mathbb Q/\mathbb Z

가운데,

|\{p\colon a_p\not\equiv 0\pmod1\}|<\aleph_0
\sum_{\nu=0,2,3,5,\dots}a_\nu\equiv 0\pmod1

인 것들로 구성된 부분군이다.

유한체 위의 나눗셈환[편집]

유한체의 브라우어 군은 자명군이므로, 유한체를 중심으로 하는 유한 차원 비가환 나눗셈환은 존재하지 않는다. (사실, 웨더번 정리에 따라서 유한환인 비가환 나눗셈환은 존재하지 않는다.)

유한체를 중심으로 하는 무한 차원 비가환 나눗셈환의 한 예는 비가환 로랑 급수이다. 형식적 로랑 급수들의 집합 \mathbb F_{p^2}((t))에, 표준적인 환 구조와 다른 환 구조를 다음과 같이 부여하자.

ta=a^pt\qquad\forall a\in\mathbb F_{p^2}

즉, 로랑 급수환을 프로베니우스 자기 동형 a\mapsto a^p에 대하여 뒤틀은 것이다. 이는 \mathbb F_{p^2}를 중심으로 하는 가산 무한 차원 비가환 나눗셈환이다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]