나눗셈 환

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

환론에서, 나눗셈 환(-環, 영어: division ring) 또는 비가환체(非可換體, 영어: skew field)는 모든 0이 아닌 원소가 가역원인 비자명환이다.

정의[편집]

(곱셈 항등원을 갖는) (R,\cdot,+)이 다음 두 성질을 만족시면, 나눗셈 환이라고 한다.

  • (곱셈 역원의 존재) R의 모든 0이 아닌 원소는 가역원이다. 즉, 모든 원소 r\in R에 대하여, r=0이거나 아니면 r^{-1}r=rr^{-1}=1r^{-1}\in R가 존재한다.
  • (비자명성) R자명환이 아니다. 즉, 0\ne1이다.

정의에 따라, 가환 나눗셈 환은 가 되지만, 비가환 나눗셈 환은 체를 이루지 않는다.

성질[편집]

나눗셈환에 대한 가군은 모두 자유 가군이며, 사실상 선형대수학으로 완전히 다룰 수 있다.

나눗셈환의 중심를 이룬다.

[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]