스토크스의 정리

미분기하학에서 스토크스의 정리(영어: Stokes’ theorem)는 매끄러운 다양체 위의 미분 형식의 적분에 관한 정리다. 이에 따라, 미분 형식의 외미분을 다양체에 적분한 값은, 그 미분 형식을 다양체의 경계에 대하여 적분한 값과 같다. 벡터 미적분학의 몇몇 정리를 일반화한 것이다.

도입

미적분학의 기본정리는 구간 $[a,b]$위의 함수 $f$의 적분은 $f$의 부정적분인 $F$를 찾는 것으로 계산할 수 있다는 정리이다.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

스토크스의 정리는 다음과 같은 관점에서 이 정리를 일반화한다.

• $\scriptstyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)$로 $F$가 결정되는 것에서, 미분 형식의 관점에서 보면 $f(x)dx$는 0-형식(0-form)의 외미분(exterior derivative)이 된다. 즉, 함수 $F$에 대해 $dF=fdx$이다. 일반화된 스토크스 정리는 $F$대신 더 높은 미분 형식에서도 적용 가능하다.
• 폐구간 $[a,b]$는 경계를 갖는 일차원 매끄러운 다양체(one-dimensional manifold with boundary)의 간단한 예이다. 경계는 두 점 $a,b$로 이루어진 집합이 된다. 구간위의 함수 $f$를 적분하는 것은 고차원 다양체 위에서 미분 형식을 적분하는 것으로 일반화할 수 있다. 두 가지 기술적인 조건이 필요한데, 다양체는 방향을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 미분 형식은 콤팩트 지지이여야 한다.
• 두 점 $a,b$는 구간 $[a,b]$의 경계가 된다. 더 일반적으로, 스토크스의 정리는 경계를 갖는 유향 다양체 $M$에 적용된다. $M$의 경계인 $\partial M$은 그 자체로 다양체가 되고, $M$이 방향성을 가짐에 따라 자연스럽게 유향 다양체를 이룬다. 예를 들어 주어진 구간의 방향은 두 경계점의 방향을 준다. 직관적으로, 점 $a$는 점 $b$ 방향으로 방향을 가진다고 볼 수 있다.

그러므로 기본정리는 다음과 같이 해석된다.

$\int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).$

정의

2차원 다양체에서의 적분 (그림에서는 $\Omega$ 대신 $D$로 표기됨)

$\Omega$가 경계를 가진 n차원 유향 매끄러운 다양체라고 하고, $\omega$는 $\Omega$ 위에 정의된 (n−1)차 미분 형식이라고 하자. 또한, $\omega$가 콤팩트 지지라고 하자. $\partial \Omega$를 $\Omega$의 경계라고 하면, 다음 등식이 성립한다. 이 등식을 스토크스의 정리라고 한다.

$\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\oint _{\partial \Omega }\omega$

여기서 $\mathrm {d}$는 미분 형식의 외미분이다.

특수한 경우

켈빈-스토크스 정리

스토크스 정리의 고전적인 형태로서 켈빈-스토크스 정리(영어: Kelvin–Stokes theorem)라고도 한다. 3차원 공간상의 폐곡선에서 수행되는 선적분은 스토크스의 정리에 의해 주어진 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면 $R$에서의 면적분으로 변환될 수 있다. 역도 가능하다.

$\oint _{\partial R}{\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }=\iint _{R}{\operatorname {curl} \,\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

그린 정리

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그린 정리도 2차원 다양체의 관점에서 마찬가지로 스토크스 정리의 특수한 형태라고 볼 수 있다. 스토크스 정리에서 즉시 유도된다.

발산 정리

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발산 정리도 유클리드 공간에서 부피 형식(volume form)에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태가 된다.

같이 보기

• 그린 정리
• 가우스의 발산정리
• 그린의 항등식

외부 링크

• 이철희. “스토크스 정리”. 《수학노트》. 
• “Stokes theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Stokes' theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Stokes theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Kelvin-Stokes theorem”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “General Stokes' theorem”. 《ProofWiki》 (영어). 
• Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem
• Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu