푸비니의 정리

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미적분학
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푸비니의 정리(Fubini's Theorem, -定理) 또는 푸비니-토넬리 정리(Fubini-Tonelli theorem, -定理)는 해석학정리로, 간단히 말해,

  1. 이중적분은 두 개의 일변수 적분을 계산하여 구할 수 있고,
  2. 그런 두 개 일변수 적분의 순서 변경이 가능하다는 것

의 둘을 보장해 주는 정리이다. 이탈리아 수학자 귀도 푸비니의 이름이 붙어 있다.

리만 적분의 경우[편집]

미적분학에서 널리 쓰이는 푸비니의 정리는 다르부 적분(또는 리만 적분)을 사용하여 다음과 같이 간단히 공식화할 수 있다.[1]

  • S = [a, b]×[c, d]를 2차원 직사각형, f:S→R을 유계함수라 하자. [a, b]에 속하는 모든 x에 대하여 f가 [c, d] 위에서 리만 적분가능하며 반대로 [c, d]에 속하는 모든 y에 대하여 f가 [a, b] 위에서 리만 적분가능하고 f가 S에서 리만 적분가능할 경우, 다음 등식이 성립한다.
  • \int\!\!\!\int_{S} f dA = \int_a^b(\int_c^d f(x, y)dy)dx = \int_c^d (\int_a^b f(x, y)dx)dy.

증명[편집]

다르부 적분으로 이중적분을 정의할 때, 다음의 부등식이 [a, b]에 속하는 모든 x에 대하여 \int_c^d f(x, y)dy 만 존재하면 일반적으로 성립함을 정의로부터 어렵지 않게 보일 수 있다.

L(\int\!\!\!\int_{S}) f dA \le L(\int_a^b)(\int_c^d f(x, y)dy)dx \le U(\int_a^b)(\int_c^d f(x, y)dy)dx \le U(\int\!\!\!\int_{S}) f dA.

여기서 L과 U는 각각 다르부 하합(lower Darboux sum)과 다르부 상합(upper Darboux sum)을 나타내는 것이다. 이를 이용하여,

g(x) := \int_c^d f(x, y)dy

라 하면, f가 S 위에서 적분가능하므로 앞의 부등식에 의하여 g는 [a, b]에서 적분가능하고,

\int\!\!\!\int_{S} f dA = \int_a^b g(x) dx,

를 얻고, 반대로 h(y) := \int_a^b f(x, y)dx 라 할 경우 h는 [c, d]에서 적분가능하고, 같은 부등식을 적용하면

\int\!\!\!\int_{S} f dA = \int_c^d h(y) dy,

를 얻는다. 따라서,

\int\!\!\!\int_{S} f dA = \int_a^b g(x) dx = \int_c^d h(y) dy.

이 되고, 증명이 끝난다.

이상적분의 경우[편집]

리만 적분을 통한 이상적분을 다룰 때도 변수변환에 대한 푸비니의 정리가 있다. 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.[2]

  1. \int_c^d f(x, y)dy 는 (a, b) 위에서 이상적분이 가능하며, 다음이 성립한다.
  2. \int_c^d\int_a^b f(x, y) dxdy = \int_a^b\int_c^d f(x, y) dydx.

이 꼴의 증명도 앞에서와 유사하게 할 수 있다. 다만 두 적분구간이 모두 무한대를 포함한다면 이 꼴로도 해결이 곤란한데, 모든 이상적분 가능성이 미리 보장되어 있다면 f가 연속일 때 \int_c^d\int_a^b f(x, y) dxdy = \int_a^b\int_c^d f(x, y) dydx 은 성립한다.

측도론의 경우[편집]

적분을 르베그 적분으로 생각할 경우, 곱측도에 대한 푸비니 정리가 존재한다. 이 경우를 쓰면 다음과 같다.[3][4]

  1. 0 \le f \le \infty 이고 \phi(x) := \int_{Y} f_x d\lambda 이며 \psi(y) := \int_{X} f^y\ d\mu 일 경우, (x∈X, y∈Y)
  2. φ와 ψ는 각각 S- 및 T- 가측함수이고, \int_{X} \phi d\mu = \int_{X \times Y} f d(\mu \times \lambda) = \int_{Y} \psi d\lambda.
  1. f가 복소함수이고 \phi'(x) := \int_{Y} |f|_x d\lambda 이며 \int_{X} \phi'(x) d\mu < \infty 이라면, f \in L^{1}(\mu \times \lambda) 이다.
  1. 만약 f \in L^{1}(\mu \times \lambda) 이면, 거의 모든 x∈X와 y∈Y에 대하여 f_{x} \in L^{1}(\lambda) 이고 f^y\ \in L^{1}(\mu) 이다. 이 경우 위에서와 같이 정의된 \phi(x)\psi(y) 은 마찬가지로 L^1(\mu), L^1(\lambda) 에 속하며, 다음 식이 성립한다.
  2. \int_{X} \phi d\mu = \int_{X \times Y} f d(\mu \times \lambda) = \int_{Y} \psi d\lambda.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 376쪽.
  2. 같은 책, 391쪽.
  3. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. Singapore: McGraw-Hill, 1987, p.164-165.
  4. 엄밀히 말해 이 정리는 푸비니의 정리 부분과 토넬리의 정리 부분으로 나뉘나, 여기서는 구별하지 않고 쓰기로 한다.

참고 문헌[편집]

  • 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.
  • Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. Singapore: McGraw-Hill, 1987.