부분 적분

미적분학에서, 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.

정의

 부정적분 § 부분 적분 문서를 참고하십시오.

만약 $I\subseteq \mathbb {R}$가 구간이며 $u,v\colon I\to \mathbb {R}$가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 $u',v'$가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.

$\int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x$

이를 $u'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} u$ 및 $v'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} v$를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

$\int u\mathrm {d} v=uv-\int v\mathrm {d} u$

만약 $u,v\colon [a,b]\to \mathbb {R}$가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x&={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}$

팁

이 명제에서는 주어진 적분에서 $u$와 $\mathrm {d} v$를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 $u$로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 $v'$으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 $u$로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(영어: LIATE rule)이라고 부른다. 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.

증명

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

$uv'=(uv)'-u'v$

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.

$\int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x$

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x$

예

첫째 예

부정적분

$\int x^{2}\ln x\mathrm {d} x$

을 구하자. $u=\ln x$이며 $\mathrm {d} v=x^{2}\mathrm {d} x$라고 하자. 그러면 $\mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/x$이며 (상수차를 무시하면) $v=x^{3}/3$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int x^{2}\ln x\mathrm {d} x$	$={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{3}}\int x^{2}\mathrm {d} x$
	$={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{9}}x^{3}+C$

둘째 예

부정적분

$\int \arcsin x\mathrm {d} x$

를 구하자. $u=\arcsin x$이며 $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x$라고 하자. 그러면 $\mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/{\sqrt {1-x^{2}}}$이며 $v=x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int \arcsin x\mathrm {d} x$	$=x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x$
	$=x\arcsin x+{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} (1-x^{2})}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
	$=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

셋째 예

부정적분

$\int x^{2}\sin x\mathrm {d} x$

을 구하자. $u=x^{2}$이며 $\mathrm {d} v=\sin x\mathrm {d} x$라고 하자. 그러면 $\mathrm {d} u=2x$이며 $v=-\cos x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x$

우변의 마지막 항의 적분에서 $u=x$, $\mathrm {d} v=\cos x\mathrm {d} x$, $\mathrm {d} u=\mathrm {d} x$, $v=\sin x$라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int x\cos x\mathrm {d} x$	$=x\sin x-\int \sin x\mathrm {d} x$
	$=x\sin x+\cos x+C$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

$\int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

넷째 예

부정적분

$\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x$

을 구하자. $u={\sqrt {x^{2}-1}}$이며 $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x$라고 하자. 그러면 $\mathrm {d} u=(x/{\sqrt {x^{2}-1}})\mathrm {d} x$이며 $v=x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x$	$=x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\mathrm {d} x$
	$=x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x-\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
	$=x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

$\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C$

다섯째 예

다음과 같은 두 적분을 구하자.

$\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x$

$\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x$

이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x$	$={\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\sin bx)$
	$={\frac {1}{b}}e^{ax}\sin bx-{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x$

$\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x$	$=-{\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\cos bx)$
	$=-{\frac {1}{b}}e^{ax}\cos bx+{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x$

즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.

$b\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\sin bx$

$a\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\cos bx$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

$\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C$

$\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C$

여섯째 예

다음과 같은 적분을 구하자.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\qquad (a>0)$

다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}$	$={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\mathrm {d} x$
	$={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}-2a^{2}\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

$\int {\frac {\mathrm {d} fx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}$	$={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{2}}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}$
	$={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\arctan {\frac {x}{a}}+C$

같이 보기

• 아벨 변환
• 아벨의 합 공식

참고 문헌

• 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析》 (중국어) 1 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 
• 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析》 (중국어) 2 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0. 
• Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA 02210: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0. LCCN 2013949101. 
• Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1. LCCN 2013946572. 
• Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2.