측도

이 문서는 수학에서 집합의 크기를 측정하는 함수 측도(測度)에 관한 것입니다. 인천광역시의 섬 측도(測島)에 대해서는 선재도 문서를 참고하십시오.

수학에서, 측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분 집합에 대해 "크기"를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 직선에서의 길이, 평면에서의 넓이 · 3차원 공간에서의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, 영어: measure space)이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, 영어: measure theory)이라고 한다.

정의

측도

불 대수의 두 원소 $x,y\in B$에 대하여, $x\land y=\bot$라면 두 원소가 서로소(-素, 영어: disjoint)라고 한다.

임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 (비가산일 수 있는) 집합 $S\subseteq [0,\infty ]$의 합을 다음과 같이 정의하자.^{:129, (10.10)}

$\sum S=\sup _{\scriptstyle S'\subseteq S \atop \scriptstyle |S'|<\aleph _{0}}\sum S'\in [0,\infty ]$

임의의 기수 $\kappa$가 주어졌다고 하자. $\kappa$-완비 불 대수 $\Sigma$ 위의 함수 $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, $\mu$가 $\kappa$-가법 측도(-加法測度, 영어: $\kappa$-additive measure)라고 한다.

• $\mu$는 증가 함수이다. 즉, 만약 $x\leq y$라면, $\mu (x)\leq \mu (y)$이다.
• 임의의 서로소 원소들로 구성된 부분 집합 $S\subseteq \Sigma$에 대하여, 만약 $|S|<\kappa$라면, $\textstyle \mu (\bigvee S)=\sum \mu [S]$. (특히, $\kappa \geq 1$일 때, $S=\varnothing$일 경우 $\textstyle \mu (\bot _{\Sigma })=0$이다.)

여기서 $[0,\infty ]$는 음이 아닌 확장된 실수의 전순서 집합이며, $\textstyle \bigvee$는 상한을 뜻하며, $\bot _{\Sigma }$은 시그마 대수의 최소 원소이다.

만약 $2<\kappa \leq \aleph _{0}$일 경우, $\mu$를 유한 가법 측도(有限加法測度, 영어: finitely additive measure)라고 한다. 만약 $\kappa =\aleph _{1}$인 경우, $\aleph _{1}$-완비 불 대수를 시그마 대수라고 하며, $\mu$를 가산 가법 측도(加算加法測度, 영어: countably additive measure) 또는 시그마 가법 측도(σ加法測度, 영어: sigma-additive measure) 또는 단순히 측도라고 한다.

불 대수 $B$ 위의 함수 $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 유한 가법 측도이다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • $\mu (\bot )=0$
  • (증가성) 만약 $x\leq y$라면, $\mu (x)\leq \mu (y)$
  • (모듈러성) 임의의 $x,y\in B$에 대하여, $\mu (x\land y)+\mu (x\lor y)=\mu (x)+\mu (y)$

유한 측도

$\kappa$-완비 불 대수 $\Sigma$ 위의 $\kappa$-가법 측도 $\mu$에 대하여, 만약 $\mu (\top _{\Sigma })<\infty$라면 $\mu$를 유한 측도(영어: finite measure)라고 한다. 만약 $\mu (\top _{\Sigma })=1$이라면 $\mu$를 확률 측도라고 한다.

시그마 대수 $\Sigma$ 위의 가산 가법 측도 $\mu$에 대하여, 만약

$\bigvee {\mathcal {S}}=\top _{\Sigma }$

$\forall S\in {\mathcal {S}}\colon \mu (S)<\infty$

$|{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}$

를 만족시키는 부분 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq \Sigma$가 존재한다면, $\mu$를 시그마 유한 측도(영어: sigma-finite measure)라고 한다.

불 대수 위의 유한 가법 측도 $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $\mu$를 준유한 측도(영어: semifinite measure)라고 한다.^{:97, Exercise 1.12.132}

임의의 $S\in \Sigma$에 대하여, 만약 $\mu (S)>0$이라면, $0<\mu (T)<\infty$인 $T\leq S$가 존재한다.

완비 불 대수 위의 준유한 가산 가법 측도를 마하람 측도(영어: Maharam measure) 또는 국소화 가능 측도(영어: localizable measure)라고 한다.^{:97, Exercise 1.12.134}

영집합의 순서 아이디얼

$\kappa$-완비 불 대수 $\Sigma$ 위의 측도 $\mu$가 주어졌을 때, 그 영원소(零元素, 영어: null element)는 측도가 0인 원소이다. 그 집합을 다음과 같이 표기하자.

$\operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )=\{S\in \Sigma \colon \mu (S)=0\}$

이는 $\kappa$-완비 순서 아이디얼을 이루며, 따라서 몫 대수 ${\tilde {\Sigma }}=\Sigma /\operatorname {Null} (\Sigma ,\mu )$를 정의할 수 있고, $\mu$는 그 위에 잘 정의된다. 이 경우, 추가로 다음 성질이 성립한다.

$\forall {\tilde {S}}\in {\tilde {\Sigma }}\colon \mu ({\tilde {S}})=0\iff {\tilde {S}}=\bot _{\tilde {\Sigma }}$

즉, 이 경우 자명하지 않은 영원소들을 없앨 수 있다.

측도 공간

측도 대수(測度代數, 영어: measure algebra)는 시그마 대수 $\Sigma$와 그 위의 측도 $\mu$의 순서쌍 $(\Sigma ,\mu )$이다.^{:277, §9.3}

가측 공간 $(X,\Sigma )$에서, 가측 집합들의 집합족 $\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$는 시그마 대수를 이룬다. 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$은 가측 공간 $(X,\Sigma )$과 $\Sigma$ 위의 측도 $\mu$의 순서쌍이다. 만약 $\mu$가 확률 측도라면, $(X,\Sigma ,\mu )$를 확률 공간이라고 한다.

국소화 가능 측도 공간

측도 대수 $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 국소화 가능 측도 공간이라고 한다.

• 임의의 $\Sigma$는 완비 불 대수이다.

성질

임의의 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$에서 다음 명제들이 성립한다.

• (단조성) 부분 순서 집합 $(\Sigma ,\leq )$에서 음이 아닌 확장 실수선의 전순서 집합 $([0,\infty ],\leq )$으로 가는 함수 $\mu$는 단조함수이다. 즉, $S_{1},S_{2}\in \Sigma$이며 $S_{1}\subset S_{2}$라면 $\mu (S_{1})\leq \mu (S_{2})$이다.
• 만약 $S_{1},S_{2},\dots \in \Sigma$라면, 다음이 성립한다.

  $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i})$

  $\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }S_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}S_{i}\right)$

예

• 셈측도는 집합의 원소 갯수를 의미하는 측도이다. 이는 유한 집합 위에 사용되는 통상적인 측도이다.
• 유클리드 공간 위에는 통상적으로 르베그 측도가 사용된다.
• 디랙 측도(영어: Dirac measure)는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 $a\in X$에 대해, 디랙 측도 $\delta _{a}(E)$는 $E$에 $a$가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수 $\mathbf {1} _{E}(a)$로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.

임의의 거리 공간 위에는 하우스도르프 측도라는 측도가 존재한다. 위상군 위에는 하르 측도라는 측도가 존재한다.

집합론에서는 측정 측도가 존재할 수 있는 기수를 가측 기수라고 한다.

참고 문헌

• Cole, Donald L. (2013). 《Measure theory》. Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher (영어) 2판. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4614-6956-8. ISBN 978-1-4614-6955-1. ISSN 1019-6242. 
• Doob, J. L. (1950). 《Measure theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 143. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0877-8. ISBN 978-0-387-94055-7. ISSN 0072-5285. 
• Halmos, Paul R. (1950). 《Measure theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 18. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9440-2. ISBN 978-0-387-90088-9. ISSN 0072-5285. 
• Pitt, H. R. (1957). 《Lectures on measure theory and probability》 (PDF) (영어). 뭄바이: Tata institute of Fundamental Research. 

바깥 고리

• “Measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Measure space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Measure algebra (measure theory)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Measure space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Measure theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Measure theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Measure space”. 《nLab》 (영어). 
• Tao, Terry (2009년 1월 1일). “A quick review of measure and probability theory”. 《What’s New》 (영어). 
• 신수지 (2011년 11월 6일). “측도와 적분 강의 노트”.