위상군: 두 판 사이의 차이

내용 삭제됨 내용 추가됨

인라인

2015년 7월 6일 (월) 16:20 판

군론에서, 위상군(位相群, 영어: topological group)은 위상이 주어진 군으로서 위상적 구조와 대수적 구조가 서로 어울리는 경우이다. 즉, 이는 군의 연산이 연속 함수임을 말한다.

정의

G가 군인 동시에 위상 공간이라 하자. 이때 군의 연산 $G\times G\to G:(x,y)\mapsto xy$ 와 $G\to G:x\mapsto x^{-1}$ 이 연속 함수일 경우 G를 위상군이라 한다. (여기에서 $G\times G$ 는 곱 위상이 주어진 위상 공간이다.)

범주론의 언어를 사용하면, 일반적인 군이 집합의 범주의 군 대상인 것과 마찬가지로, 위상군을 위상 공간의 범주의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

위상 공간과 연속 군 준동형들의 범주는 $\operatorname {TopGrp}$ 라고 한다.

성질

국소 콤팩트 하우스도르프 위상군의 경우, 하르 측도라는 측도가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다. 국소 콤팩트 아벨 위상군의 경우, 폰트랴긴 쌍대성이 존재한다.

군론적 성질

위상군 $G$ 에서, 항등원을 포함하는 연결 성분 $G_{0}$ 는 $G$ 의 닫힌 정규 부분군을 이루며, 몫군 $G/G_{0}$ 은 (몫위상을 주면) 완전 분리 공간이다.

위상군 $G$ 의 부분군 $H\leq G$ 에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.

열리고 닫힌 집합이다.
내부가 공집합이다.

모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. 유한 지표 부분군의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 동치이다.

위상수학적 성질

모든 위상군은 완비 정칙 공간이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

위상군의 기본군은 항상 아벨 군이다. 위상군의 0차 "호모토피 군" $\pi _{0}(G)$ 는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.

예

모든 군은 이산 위상을 주거나 비이산 위상을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 모든 리 군은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다. 모든 사유한군 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.

모든 위상 벡터 공간은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 리 군이 아니다. 실수 또는 복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위에 유니터리 작용소들의 군 $\operatorname {U} ({\mathcal {H}})$ 는 작용소 노름을 부여하면 위상군을 이룬다.

유리수의 덧셈군 $\mathbb {Q}$ 는 위상군을 이루며, 이는 리 군이 아니다.

참고 문헌

Arhangel’skii, Alexander; Tkachenko, Mikhail (2008). 《Topological Groups and Related Structures》. Atlantis Press. doi:10.2991/978-94-91216-35-0. ISBN 90-78677-06-6.
Husain, Taqdir (1981). 《Introduction to Topological Groups》. R.E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-89874-193-9.
Pontryagin, Lev S. (1986). 《Topological Groups》 3판. Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-133-6.

바깥 고리

“Topological group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Topological group”. 《nLab》 (영어).
“Subgroup of topological group is either clopen or has empty interior”.

같이 보기

@@ 3번째 줄: / 3번째 줄: @@
 ==정의==
-G가 [[군 (수학)|군]]인 동시에 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라 하자. 이때 군의 연산 <math>G\times G \to G : (x,y)\mapsto xy</math>와 <math>G\to G : x \mapsto x^{-1}</math>이 [[연속 함수]]일 경우 G를 '''위상군'''이라 한다. (여기에서 G × G는 [[곱 위상]]이 주어진 위상 공간이다.)
+G가 [[군 (수학)|군]]인 동시에 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라 하자. 이때 군의 연산 <math>G\times G \to G : (x,y)\mapsto xy</math>와 <math>G\to G : x \mapsto x^{-1}</math>이 [[연속 함수]]일 경우 G를 '''위상군'''이라 한다. (여기에서 <math>G\times G</math>는 [[곱 위상]]이 주어진 위상 공간이다.)
-많은 저자들은 여기에 G가 [[하우스도르프 공간]]이라는 조건을 덧붙이나, 여기에서는 이를 따르지 않기로 한다. 임의의 위상군은 자연스러운 방법으로 하우스도르프화 시킬 수 있다.
 [[범주론]]의 언어를 사용하면, 일반적인 군이 [[집합의 범주]]의 [[군 대상]]인 것과 마찬가지로, 위상군을 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주의 군 대상으로 정의할 수도 있다.
@@ 39번째 줄: / 37번째 줄: @@
 [[유리수]]의 덧셈군 <math>\mathbb Q</math>는 위상군을 이루며, 이는 [[리 군]]이 아니다.
+== 참고 문헌 ==
+*{{서적 인용 | 성=Arhangel’skii | 이름=Alexander | 성2=Tkachenko | 이름2= Mikhail | title=Topological Groups and Related Structures | publisher=Atlantis Press | 날짜=2008 | isbn=90-78677-06-6|doi=10.2991/978-94-91216-35-0|언어고리=en}}
+*{{서적 인용 | last = Husain | first = Taqdir | title = Introduction to Topological Groups | year = 1981 | publisher = R.E. Krieger Publishing Company | isbn = 0-89874-193-9|언어고리=en}}
+*{{서적 인용 | last = Pontryagin | first = Lev S. | authorlink = 레프 폰트랴긴 | title = Topological Groups | year = 1986 | 판 = 3 | 역자 =  Arlen Brown, P.S.V. Naidu | publisher = Gordon and Breach Science Publishers | isbn = 2-88124-133-6|언어고리=en}}
 == 바깥 고리 ==