열리고 닫힌 집합

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열리고 닫힌 집합(Clopen set), 또는 개폐집합(開閉集合)은 어떤 위상공간 (X, T)의 부분집합으로, 위상 T에 의해 열린 집합인 동시에 닫힌 집합이 되는 것을 말한다. 즉, 그 자신과 여집합이 모두 열린 집합이 되는 것이다. 어떤 위상공간이든지 그 전체 집합 X와 공집합은 항상 개폐집합이다.

성질[편집]

먼저, 어떤 위상공간 (X, T)이 주어져 있다고 하자.

  • S가 개폐집합일 필요충분조건은 S의 경계가 공집합인 것이다.
  • X가 연결공간일 필요충분조건은 개폐집합이 오직 X와 공집합뿐인 것이다.
  • X의 모든 부분집합이 개폐집합일 필요충분조건은 T가 이산위상일 것이다.
  • 임의의 개폐집합은 연결성분들의 합집합으로 표현된다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.