열리고 닫힌 집합

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일반위상수학에서, 열리고 닫힌 집합(영어: clopen set) 또는 개폐집합(開閉集合)은 열린 집합이자 동시에 닫힌 집합인 집합이다.

정의[편집]

어떤 위상 공간 (X,\mathcal T)부분 집합 S\subset X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 열리고 닫힌 집합이라고 한다.

성질[편집]

임의의 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • X연결 공간이다.
  • X의 열리고 닫힌 집합은 X\varnothing밖에 없다.

임의의 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • X의 모든 부분 집합은 열리고 닫힌 집합이다.
  • X이산 공간이다.

임의의 열리고 닫힌 집합은 연결 성분들의 합집합이다.

[편집]

어떤 위상 공간이든지 그 전체 집합 X와 공집합은 항상 열리고 닫힌 집합이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.