완비 격자

순서론에서 완비 격자(完備格子, 영어: complete lattice)는 임의의 크기의 이음 및 만남이 존재하는 격자이다.

정의

순서론적 정의

모든 부분 집합 $S\subseteq L$이 상한을 갖는 원순서 집합 $(L,\lesssim )$을 상완비 원반격자(上完備原半格子, 영어: upper-complete presemilattice)라고 한다. 마찬가지로, 모든 부분 집합 $S\subseteq L$이 하한을 갖는 원순서 집합 $(L,\lesssim )$을 하완비 원반격자(下完備原半格子, 영어: lower-complete presemilattice)라고 한다. 두 상/하완비 원반격자 사이의 상/하완비 원반격자 사상(영어: upper/lower-complete presemilattice morphism)은 이러한 상한/하한들을 보존하는 함수이다.

원순서 집합 $(L,\lesssim )$에 대하여 다음 다섯 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 $L$을 완비 원격자(完備原格子, 영어: complete prelattice)라고 한다.

• 모든 부분 집합의 상한과 하한이 존재한다.
• 모든 부분 집합의 상한이 존재한다.^{:9, Proposition O-2.2, (i)}
• 모든 부분 집합의 하한이 존재한다.^{:9, Proposition O-2.2, (i)}
• 모든 유한 집합의 상한이 존재하며, 모든 상향 집합의 상한이 존재한다.^{:9, Proposition O-2.2, (ii)}
• 모든 유한 집합의 하한이 존재하며, 모든 하향 집합의 하한이 존재한다.^{:9, Proposition O-2.2, (iii)}

완비 원격자 사상(영어: complete prelattice morphism)은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다. 즉, 완비 원격자 및 상·하 완비 원반격자의 개념은 일치하지만, 그 사이에 주어진 사상은 다르다.

증명:

$L$의 모든 부분 집합이 상한을 갖는다고 가정하고, $S\subseteq L$이 임의의 부분 집합이라고 하자. $S$의 하계들의 집합

$B=\bigcap _{s\in S}\mathop {\downarrow } s$

을 생각하자. 그렇다면 그 상한 $\textstyle \bigvee B$는 $S$의 하한이다.

이제, $L$의 모든 유한 집합과 모든 상향 집합이 상한을 갖는다고 하자. 그렇다면, 임의의 부분 집합 $S$에 대하여, 그 유한 부분 집합들의 상한들의 집합

$\left\{\bigvee F\colon F\subseteq S,\;|F|<\aleph _{0}\right\}$

은 $L$의 상향 집합이며, 그 상한은 $S$의 상한이다.

부분 순서 집합인 완비 원격자를 완비 격자라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 $S$의 상한을 통상적으로 이음(영어: join) $\textstyle \bigvee S$이라고 부르며, 부분 집합 $S$의 하한을 만남(영어: meet) $\textstyle \bigwedge S$이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.

범주론적 정의

원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있으며, 이 경우 상한은 쌍대 극한, 하한은 극한에 대응된다. 따라서, 위의 순서론적 정의들을 범주론적 언어로 재서술할 수 있다.

모든 작은 쌍대 완비 범주는 항상 원순서 집합(얇은 범주)이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 상완비 원반격자(上完備原半格子, 영어: upper-complete presemilattice)라고 한다. 상완비 원반격자 사이의 사상은 모든 작은 쌍대극한을 보존하는 함자이다.

마찬가지로, 모든 작은 완비 범주는 항상 원순서 집합(얇은 범주)이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 하완비 원반격자(下完備原半格子, 영어: lower-complete presemilattice)라고 한다. 하완비 원반격자 사이의 사상은 모든 작은 극한을 보존하는 함자이다.

작은 범주에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 완비 원격자(完備原格子, 영어: complete prelattice)라고 한다.

• 쌍대 완비 범주이다.
• 완비 범주이다.

이는 수반 함자 정리에 의하여 함의된다. 특히, 모든 완비 원격자는 원순서 집합(얇은 범주)이다. 완비 원격자 사이의 사상은 모든 작은 극한 및 모든 작은 쌍대극한을 보존하는 함자이다.

완비 원격자에서, 만약 서로 동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를 완비 격자(영어: complete lattice)라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.

성질

이름과 같이, 완비 격자는 격자를 이루며, 또한 항상 유계 격자를 이룬다. (공집합의 이음과 만남이 각각 최대·최소 원소이다.) 반대로, 모든 유한 격자는 완비 격자이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 순서 위상 아래 콤팩트 공간이다.
• 완비 격자이다.

타르스키 고정점 정리에 의하면 완비 격자에서 자신으로 가는 순서 보존 함수가 있을 때, 그 함수의 고정점의 집합은 다시 완비 격자를 이룬다.

예

집합론

집합 $S$ 위의 멱집합 격자 $({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$는 완비 격자이다.

집합 $S$ 위의 동치 관계들의 집합 $\operatorname {Eq} (S)$에, 만약

$a\sim _{1}b\implies a\sim _{2}b$

라면

${\sim }_{1}\leq {\sim }_{2}$

라고 정의하자. 그렇다면 $\operatorname {Eq} (S)$는 완비 격자이다.

위상수학

위상 공간 $X$에 대하여, 열린집합들의 부분 순서 집합은 완비 격자이자 헤이팅 대수이다.

닫힌구간 $[a,b]\subset \mathbb {R}$은 콤팩트 전순서 집합이므로 완비 격자이다.

대수학

군 $G$에 대하여, $G$의 부분군들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

환 $R$에 대하여, $R$의 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

양의 정수의 집합 $\mathbb {Z} ^{+}$에서, 인수 관계 $\mid$를 가하면, $(\mathbb {Z} ^{+},\mid )$은 완비 격자를 이룬다.

참고 문헌

• Davey, B.A.; Priestley, H. A. (2002). 《Introduction to lattices and order》 (영어) 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511809088. ISBN 978-0-521-78451-1. Zbl 1002.06001. 

외부 링크

• “Complete lattice”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complete lattice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Complete lattice”. 《nLab》 (영어). 
• “CompLat”. 《nLab》 (영어). 
• “Suplattice”. 《nLab》 (영어). 
• “Inflattice”. 《nLab》 (영어). 
• “Complete small category”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: complete lattice”. 2020년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 2일에 확인함.