배럴 공간
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함수해석학에서 배럴 공간(영어: barreled space, 프랑스어: espace tonnelé)은 공간의 모든 배럴 집합이 영벡터의 근방인 하우스도르프 위상 벡터 공간이다. 위상 벡터 공간에서 배럴 집합 또는 배럴은 볼록, 균형, 흡수 그리고 닫힌 집합이다. 배럴 공간은 바나흐-스테인하우스 정리의 한 형태가 이 공간에 적용되기 때문에 연구되었다.
역사
[편집]예시
[편집]- 반노름 공간에서 단위구는 배럴이다.
- 모든 국소 볼록 공간은 배럴 집합으로 이루어진 근방 기저를 가진다. 그렇지만 공간 자체는 배럴 공간일 필요는 없다.
- 프레셰 공간, 그리고 특히 바나흐 공간은 배럴 공간이지만, 일반적으로 노름 공간은 배럴 공간이 아니다.
- 몽텔 공간은 배럴 공간이다. 결과적으로, 몽텔 공간의 강한 쌍대는 배럴 공간이다 (왜냐하면 이것도 몽텔 공간기 때문이다).
- 베르 공간인 국소 볼록 공간은 배럴 공간이다.
정의
[편집]라고 하자. -위상 벡터 공간 속의 배럴(영어: barrel, 프랑스어: tonneau 토노[*]) 는 다음 조건들을 만족시키는 부분 집합이다.
모든 배럴이 의 근방을 이루는 국소 볼록 공간을 배럴 공간이라고 한다.
성질
[편집]하우스도르프 국소 볼록 공간 와 연속 쌍대 에 대해서 다음 명제는 모두 동등하다:
- X는 배럴이다,
- 모든 을 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 X'의 부분집합은 동등연속이다 (이것은 바나흐-스테인하우스 정리의 부분 역을 제공한다),[2]
- 연속 쌍대 공간 X'의 모든 부분집합 A에 대해서, 다음의 성질은 동등하다: A는[2]
- 동등연속이다,
- 상대적 약한 콤팩트이다,
- 강한 유계이다,
- 약한 유계이다,
- X는 강한 위상 을 지닌다,
- 에서 모든 낮은 반-연속 반노름은 연속이다,
- X의 0-근방 기저와 의 유계 집합의 기본족은 극성으로 서로 대응한다.[2]
추가로,
함의 관계
[편집]모든 프레셰 공간은 배럴 공간이다. 그러나 배럴 공간이 아닌 노름 공간이 존재한다. 베르 공간인 국소 볼록 공간은 항상 배럴 공간이다.
균등 유계성 원리
[편집]배럴 공간의 경우 다음과 같은 형태의 균등 유계성 원리가 성립한다.
배럴 공간 와 국소 볼록 공간 가 주어졌다고 하자. 또한, 유계 작용소들의 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- (점별 유계성) 임의의 에 대하여, 는 유계 집합이다.
- 는 동등 연속 함수족이다.
- 는 균등 동등 연속 함수족이다.
준-배럴 공간
[편집]공간의 모든 베럴 유계형 집합은 의 근방인 위상 벡터 공간 은 준-배럴 공간이다. 어떤 집합이 의 모든 유계 부분집합을 흡수하면 그 집합은 유계형 집합이다. 모든 배럴 공간은 준-배럴 공간이다.
For a 국소 볼록 공간 과 연속 쌍대 에 대해서 다음 명제는 동등하다\:
- 가 준-배럴 공간이다,
- 의 모든 유계 낮은 반-연속 반노름은 연속이다,
- 를 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 모든 의 부분집합은 동등연속이다.
각주
[편집]- ↑ Bourbaki, Nicolas (1950). “Sur certains espaces vectoriels topologiques”. 《Annales de l’Institut Fourier》 (프랑스어) 2: 5–16. MR 0042609. Zbl 0042.35302.
- ↑ 가 나 다 Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350
- Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 65–75쪽.
- Schaefer, Helmut H. (1971). 《Topological vector spaces》. GTM 3. New York: Springer-Verlag. 60쪽. ISBN 0-387-98726-6.
- S.M. Khaleelulla (1982). 《Counterexamples in Topological Vector Spaces》. GTM 936. Springer-Verlag. 28–46쪽. ISBN 978-3-540-11565-6.
외부 링크
[편집]- “Barrelled space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Barreled topological vector space”. 《nLab》 (영어).