환론에서 등급 대수(等級代數, 영어: graded algebra)는 그 원소들이 어떤 등급(等級, 영어: grade)을 가진 결합 대수이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 가환환
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
- 모노이드
![{\displaystyle (N,\cdot )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bab949c133208a6ced672bdaaaae1756cfd899)
- 각
에 대하여,
-가군
. 편의상
로 표기하자.
위의
-결합 대수 구조
이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
![{\displaystyle A_{m}A_{n}\subseteq A_{mn}\qquad (\forall m,n\in N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd4f09f430f08e0f72ca49bf6ff330a507cf4b9)
![{\displaystyle \phi (K)\subseteq A_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f9b699b79c38737016e33c48c715377d172ef8)
이 경우,
를
등급을 가진 등급 대수라고 한다.
(정수환) 위의 단위 결합 대수는 환이므로,
위의 등급 대수는 등급환(等級環, 영어: graded ring)이라고 한다.
통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우
(음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이
(2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 초대수(超代數, 영어: superalgebra)라고 부르기도 한다.
동급 원소[편집]
등급 대수
의 원소
는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.
- 만약
인
이 존재할 경우
를 동급 원소(同級, 영어: homogeneous element)라고 한다. 만약
이라면 이는 유일하며,
을
의 등급이라고 한다. 이는 보통
로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.)
- 만약
인
이 존재하지 않을 경우
를 비동급 원소(영어: inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.
준동형[편집]
가환환
위의, 모노이드
등급의 두 등급 대수
,
사이의 등급 대수 준동형(영어: graded-algebra homomorphism)
은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.
![{\displaystyle \deg f(a)=\deg a\qquad \forall n\in N,\;a\in A_{n}\setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90502e31f4860a56faefb353c5b92b92dfc1e556)
즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라,
위의
등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체)
![{\displaystyle \operatorname {grAlg} _{K,N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6931fe8d295dfe332bf0807dbf8a025339f229)
를 이룬다.
보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형
및
위의
등급 대수
와
등급 대수
가 주어졌을 때,
위의 등급 대수 준동형
은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.
![{\displaystyle \deg f(a)=\phi (\deg a)\qquad \forall n\in N,\;a\in A_{n}\setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63045346b6825a18fc2a73ca75e1273d18a1ebcd)
가환 모노이드
가 추가로 가환 반환의 구조
를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자.
![{\displaystyle \sigma \colon (N,+,0)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aafdf69880185526d4b973869df118c67db3b6c)
만약
-등급
-대수
가 다음 조건을 만족시킨다면,
가 등급 가환 대수(영어: graded-commutative algebra)라고 한다.
![{\displaystyle ab=\sigma (mn)ba\qquad \forall a\in A_{m},\;b\in A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70601225fcdd1335f93e62ae4e58e300b73e24a2)
물론, 만약
의 표수가 2 또는 1이라면 (즉,
이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.
가환환
와 모노이드
,
이 주어졌을 때,
-등급
-대수
및
-등급
-대수
의 직합(영어: direct sum)
은 다음과 같은
-등급
-대수이다.
-가군으로서
은 가군의 직합이다.
![{\displaystyle (A\oplus A')_{n,n'}=A_{n}\oplus A'_{n'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f926f38b88f979b732363012469dab27ab470c)
![{\displaystyle (a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759219c263a8a2a506658429ed57b31095cf9e87)
텐서곱[편집]
가환환
와 가환 모노이드
이 주어졌을 때,
-등급
-대수
,
의 텐서곱(영어: tensor product)
은 다음과 같은
-등급
-대수이다.
-텐서곱으로서
은 가군의 텐서곱이다.
![{\displaystyle (A\otimes _{K}A')_{n}=\bigoplus _{n_{1},n_{2}\in N\colon n_{1}+n_{2}=n}A_{n}\otimes _{K}A'_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a453c3c4ef3c38a81fcec572161631da7d95f1)
![{\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd35d9972c9234604b66f8d59c806dc7cd0a10f)
보다 일반적으로,
이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우
-등급
-대수
에 대하여
![{\displaystyle A_{m}A_{n}\subseteq A_{m+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d182f58ebf5e01ba30c464389428d06e6455421f)
이 된다. 또한, 모노이드 준동형
![{\displaystyle \sigma \colon (N,+)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f0baf6793c962214c89083e142651ce49afb68)
이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두
-등급
-대수
,
에 대하여 등급 텐서곱(영어: graded tensor product)
은 다음과 같은
-등급
-대수이다.
-텐서곱으로서
은 가군의 텐서곱
이다.
![{\displaystyle (A{\hat {\otimes }}_{K}A')_{n}=\bigoplus _{n_{1},n_{2}\in N\colon n_{1}+n_{2}=n}A_{n}\otimes _{K}A'_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738b6001a19b3b6658ea178a7f92363cc7dcd302)
![{\displaystyle (a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=\sigma (m,n)(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a\in A,\;b\in A_{m},\;a'\in A'_{n},\;b'\in A'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea55ab8eb1cb30963a74a21c50a91a59baa8cb5c)
이는 흔히
또는
또는
이며,
![{\displaystyle \sigma \colon n\mapsto (-1)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b1435cc7da1634ac84b00815e46916e7fe09a8)
인 경우 사용된다.
두 등급 가환
-등급
-대수
,
이 주어졌을 때, 등급 텐서곱
역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱
는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.
등급의 망각[편집]
모노이드
등급을 갖는, 가환환
위의 등급 대수
가 주어졌으며, 모노이드 준동형
![{\displaystyle q\colon N\to {\tilde {N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bf7900469253a45c5ec98d777e94c9f513cafb)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
에서 등급 구조를 망각하여
![{\displaystyle A_{\tilde {n}}=\bigoplus _{n\in q^{-1}({\tilde {n}})}A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ff8c45a649c662e342f7b059ed64cfab316ba1)
를 정의할 수 있으며,
![{\displaystyle \bigoplus _{{\tilde {n}}\in {\tilde {N}}}A_{\tilde {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66a5810c327d11c86fd16fa4eae180f7302b6b7)
은
-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자
![{\displaystyle \operatorname {grAlg} _{K,N}\to \operatorname {grAlg} _{K,{\tilde {N}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae941bd62dc8165efe85f4e7ac6cb3ab6021a06)
를 이룬다.
예를 들어, 자연수 등급의 대수
는
를 통해 등급을 망각하여 초대수
로 만들 수 있다.
무관 아이디얼[편집]
가환환
위의, 자연수 등급의 등급 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle A_{+}=\bigoplus _{n>0}A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40894ff44bb7f40669ac87a4fba23d312852d2b7)
은
의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 이 양쪽 아이디얼을 무관 아이디얼(無關ideal, 영어: irrelevant ideal)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle A/A_{+}\cong A_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8a9a7c3a6e32fc3ed6ee15ec10af234083f328)
![{\displaystyle a+A_{+}\mapsto a\qquad \forall a\in A_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776fd41e5b883a8dbdceb773542107b5a22e7b14)
- 위상 공간
위의 코호몰로지 환
은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
- 매끄러운 다양체
위의 미분 형식의 공간
은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진
-등급 대수이다.
- 모노이드
에 대한 모노이드 환은
등급을 가진 등급환이다.
- 클리퍼드 대수는
등급을 가진 등급 대수이다.
- 가환환
위의 가군
위의 텐서 대수
는
-등급
-대수이며, 이 경우
이다.
- 가환환
위의 가군
위의 외대수
는
-등급
-대수이다.
- 가환환
위의 가군
위의 대칭 대수
는
-등급
-대수이다. 특히, 가환환
위의 다항식환
은
-등급
-대수를 이룬다. 이 경우, 등급 대수를 이루는 각
들은 (0을 포함한)
차 동차다항식들의 집합과 같다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]