완비 격자

순서론에서, 완비 격자(完備格子, 영어: complete lattice)는 임의의 크기의 이음 및 만남이 존재하는 격자이다.

정의

원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다. 원순서 집합 $(L,\lesssim )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 $L$을 상완비 원격자(영어: upper-complete prelattice)라고 한다.

• $L$은 모든 부분 집합 $S\subseteq L$의 상한이 존재한다. (이러한 상한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, $S=\varnothing$일 경우 $L$은 최소 원소를 갖는다.)
• $L$은 쌍대 완비 범주이다.

상완비 원격자 사상(영어: upper-complete prelattice morphism)은 이러한 상한들을 보존하는 함수이다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(L,\lesssim )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 $L$을 하완비 원격자(영어: lower-complete prelattice)라고 한다.

• $L$은 모든 부분 집합 $S\subseteq L$의 하한이 존재한다. (이러한 하한은 유일하지 않을 수 있지만 항상 서로 동치이다.) (특히, $S=\varnothing$일 경우 $L$은 최대 원소를 갖는다.)
• $L$은 완비 범주이다.

하완비 원격자 사상(영어: lower-complete prelattice morphism)은 이러한 하한들을 보존하는 함수이다.

이 두 조건을 모두 만족시키는 원순서 집합을 완비 원격자(영어: complete prelattice)라고 한다. 완비 원격자 사상(영어: complete prelattice morphism)은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다.

부분 순서 집합인 완비 원격자를 완비 격자라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 $S$의 상한을 통상적으로 이음(영어: join) $\textstyle \bigvee S$이라고 부르며, 부분 집합 $S$의 하한을 만남(영어: meet) $\textstyle \bigwedge S$이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.

성질

이름과 같이, 완비 격자는 격자를 이루며, 또한 항상 유계 격자를 이룬다. (공집합의 이음과 만남이 각각 최대·최소 원소이다.) 반대로, 모든 유한 격자는 완비 격자이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 순서 위상 아래 콤팩트 공간이다.
• 완비 격자이다.

예

집합론

집합 $S$ 위의 멱집합 격자 $({\mathcal {P}}(S),\subseteq )$는 완비 격자이다.

집합 $S$ 위의 동치 관계들의 집합 $\operatorname {Eq} (S)$에, 만약

$a\sim _{1}b\implies a\sim _{2}b$

라면

$\sim _{1}\leq \sim _{2}$

라고 정의하자. 그렇다면 $\operatorname {Eq} (S)$는 완비 격자이다.

위상수학

위상 공간 $X$에 대하여, 열린집합들의 부분 순서 집합은 완비 격자이자 헤이팅 대수이다.

닫힌구간 $[a,b]\subset \mathbb {R}$은 콤팩트 전순서 집합이므로 완비 격자이다.

대수학

군 $G$에 대하여, $G$의 부분군들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

환 $R$에 대하여, $R$의 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

양의 정수의 집합 $\mathbb {Z} ^{+}$에서, 인수 관계 $\mid$를 가하면, $(\mathbb {Z} ^{+},\mid )$은 완비 격자를 이룬다.

참고 문헌

• Davey, B.A.; H. A. Priestley (2002). 《Introduction to lattices and order》 (영어) 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511809088. ISBN 978-0-521-78451-1. Zbl 1002.06001. 

바깥 고리

• “Complete lattice”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complete lattice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Complete lattice”. 《nLab》 (영어).