집합

수학에서 집합(集合, set)은 어떤 조건이 주어졌을때, 그 조건이 가리키는 대상이 분명한 것들의 모임을 말한다.

집합을 다루는 이론을 집합론이라고 한다. 19세기 말에 개발된 집합론은 수학의 다른 이론들에 비해 역사가 짧은 편이나, 현대 수학의 거의 모든 이론은 집합론을 토대로 이루어져 있다. 현대의 수학자들은 소박한 집합론이 갖고 있던 역설들을 해결하기 위해 개발된 공리적 집합론을 사용한다.

정의

집합은 서로 구별되는 대상들을 순서와 무관하게 모은 것이다. 이때 집합에 속하는 각각의 대상들은 집합의 원소라고 한다. 세상에 존재하는 거의 모든 것들은 집합의 원소가 될 수 있으며, 이는 숫자나 대수, 사람, 글자, 집합, 국가와 같은 개념들을 포함한다. 집합은 일반적으로 알파벳의 대문자로 표기하고, 원소는 소문자로 표기한다.

공리적 집합론에서는 집합을 무정의 용어로 두거나 단순히 집합을 구별하는 단항 조건 기호를 사용하기도 한다. 이 경우, 집합 자체의 정의를 시도하기 보다는 전체 집합론이 가지고 있는 공리들이 집합의 성질을 설명한다. 예를 들어, 확장 공리는 원소가 같은 두 집합은 같아야 한다는 뜻을 지닌다.

집합의 원소

 이 부분의 본문은 원소 (수학)입니다.

집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소 또는 원이라고 한다. 또 어떤 것이 집합의 원소일 때 그것은 그 집합에 속한다라고 한다. 집합과 달리 집합의 원소는 주로 알파벳 소문자로 표현한다.

어떠한 원소(Element)가 집합에 속해 있는지를 표기할 때에는 원소의 약자 E를 기호화하여 $\in$, $\notin$ 기호를 사용한다.

예를 들어, 집합 A가 A = {1, 2, 3, 4}라고 할 때 3이 집합 A에 속한다는 것을 다음과 같이 표기한다.

$3\in A$

마찬가지로, 5가 집합 A에 속하지 않는다는 것은 다음과 같이 표기한다.

$5\notin A$

집합의 기수

집합이 가진 원소의 수를 집합의 기수(혹은 크기)라고 한다. 즉, 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 기수는 5이다. 이와 같이 기수가 유한한 집합을 유한 집합이라 한다.

기수가 0인 집합도 있으며, 이를 공집합이라 부르고 Ø라는 기호로 나타낸다. 예를 들어, '평면 위에서 변이 4개인 삼각형의 집합'이나 '이차부등식 $x^{2}+3x+5<0$의 해의 집합'은 공집합이다. 공집합은 원소의 개수가 유한하므로 유한 집합에 포함된다.

집합 중에는 자연수의 집합을 비롯해 무한히 많은 원소를 가진 것도 있으며, 이를 무한 집합이라 한다.

집합의 포함 관계

집합 A의 모든 원소가 다른 집합 B의 원소가 될 때 'A는 B에 포함된다', 또는 'B는 A를 포함한다'라고 한다. 여기서 A는 B의 부분집합이다. 또한 자신과 동일하지 않은 자신의 모든 부분집합을 진부분집합이라고 한다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이며, 모든 집합은 그 자신의 부분집합이다.

집합간의 포함관계는 다음과 같이 포함(Contain)의 약자 C를 기호화하여 표기한다.

$A\subset B$

예를 들어, 두 집합 A, B가 있을 때 A={1,2,3}, B={1,2,3,5,7}이면, A는 B에 포함되고, B는 A를 포함한다. A의 진부분집합은 Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}의 7개이다.

두 집합 A, B가 가지고 있는 모든 원소가 서로 같다면, 두 집합은 같다(상동)고 말한다. 좀 더 엄밀히 말하면, A가 B의 부분집합이면서 동시에 B가 A의 부분집합이면, 두 집합은 같은 집합이다.

$A=B\Leftrightarrow A\subset B$ 그리고 $B\subset A$

집합의 표현

집합을 서술하기 위해 일반적으로 사용되는 방법으로는 원소나열법과 조건제시법이 있다.

원소나열법

이 방식은 집합에 들어있는 원소들을 직접 나열하는 방식이다. 예를 들어 다음과 같다.

• {1, 2, 3}
• {흰색, 검은색}

또한, 원소의 수가 많고 원소들 간에 규칙이 있을 때에는 중간을 생략할 수 있다.

• {1, 2, 3, ..., 100} : 1부터 100까지의 자연수가 있는 집합
• {2, 4, 6, ..., 40} : 2부터 40까지의 짝수가 있는 집합

이와 같은 표기를 사용할 때에는 규칙성을 알 수 있어야 한다. 예를 들어, {1, 4, 5, 7, ..., -4}와 같은 집합에서는 중간에 생략된 숫자들이 무엇인지 추측할 수 없다.

조건제시법

이 방법은 원소들을 구체적으로 설명하는 대신에, 원소들의 논리적 관계를 기술한다.

조건제시법은 반드시 {(집합의 모든 원소의 형태)|(원소의 조건)}과 같이 표기하며, 이때 '|' 기호는 바(bar)라고 읽는다. 예를 들어 다음과 같다.

• {x|x는 1≤x≤10인 자연수} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• {x+y|x는 1 또는 2, y는 3 또는 4} = {4, 5, 6}
• {(x,y)|x∈{1,2}, y∈{1,2}} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

벤 다이어그램

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원을 그리고 밖에 집합의 기호를 쓰고 안에 원소를 쓰는 방법이다.

집합의 연산

교집합

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합집합

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차집합

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수의 집합

다음의 집합들은 수학에서 매우 자주 사용되며, 따라서 특별한 기호를 배정해 나타낸다.

• $\mathbb {N}$은 자연수의 집합이다.
• $\mathbb {Z}$는 정수의 집합이다.
• $\mathbb {Q}$는 유리수의 집합이다.
• $\mathbb {I}$는 무리수의 집합이다. 간혹 $\mathbb {P}$로 쓰기도 한다.
• $\mathbb {R}$는 실수의 집합이다.
• $\mathbb {C}$는 복소수의 집합이다.

같이 보기

• 집합론
• 공리적 집합론
• 소박한 집합론
• 퍼지 집합