퍼지 집합 (fuzzy set )은 기존의 집합 을 퍼지 논리 개념을 사용해 확장한 것으로, 각 원소는 그 집합에 속하는 정도(소속도)가 존재한다. 이때 소속도는 0과 1 사이의 실수 로 표현되고, 원소가 집합에 완전히 속하는 경우를 1, 전혀 속하지 않는 경우를 0으로 나타낸다.
퍼지 집합은 로트피 자데 가 고전적인 집합을 확장한 개념으로서 고안하였다.
퍼지 집합
A
{\displaystyle A}
은 고전적인 집합
U
{\displaystyle U}
와 소속함수(membership function)
μ
A
:
U
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mu _{A}:\,U\rightarrow [0,1]}
에 의하여 정의된다. 여기서
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
에 대해
μ
A
(
x
)
{\displaystyle \mu _{A}(x)}
는
A
{\displaystyle A}
에 대한
x
{\displaystyle x}
의 소속도를 나타낸다.
(여기에서 소속함수가 고전적인 집합에서의 지시 함수 의 확장임을 알 수 있다.) 이것을 다음과 같이 표기한다.
A
=
{
(
x
,
μ
A
(
x
)
)
|
x
∈
U
}
{\displaystyle A=\left\{(x,\mu _{A}(x))|x\in U\right\}}
이것을 소속함수 표기법이라 한다.
U
{\displaystyle U}
가 유한 집합 일 경우 고전적인 집합의 원소나열법과 비슷한 방법으로 표시할 수 있다.
예를 들어
U
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle U=\left\{1,2,3,4,5\right\}}
이고,
μ
A
(
1
)
=
0.7
,
μ
A
(
2
)
=
0.5
,
μ
A
(
3
)
=
0.2
,
μ
A
(
4
)
=
0
,
μ
A
(
5
)
=
0
{\displaystyle \mu _{A}(1)=0.7,\,\mu _{A}(2)=0.5,\,\mu _{A}(3)=0.2,\,\mu _{A}(4)=0,\,\mu _{A}(5)=0}
이라면 이것을
A
=
{
(
1
,
0.7
)
,
(
2
,
0.5
)
,
(
3
,
0.2
)
}
{\displaystyle A=\left\{(1,0.7),(2,0.5),(3,0.2)\right\}}
와 같은 순서쌍들의 나열로 표시할 수 있다.
그러나
{
x
∈
U
|
μ
A
(
x
)
≠
0
}
{\displaystyle \left\{x\in U|\mu _{A}(x)\neq 0\right\}}
에서
U
{\displaystyle U}
가 무한 집합 일 경우에는 이와 같은 방법을 적용할 수 없다.
기본 개념 [ 편집 ]
전체집합과 공집합 [ 편집 ]
위의 예에서 소속함수들의 정의역 인 집합 U를 전체집합 이라 한다. 전체집합은 고전적인 집합임을 알 수 있다. 즉 모든 x에 대해 U에 대한 x의 소속도가 1이다. 쌍대 개념으로, 공집합 은 U 안의 모든 x에 대해 그에 대한 x의 소속도가 0인 집합을 말한다.
전통적인 집합 개념과 같이, 퍼지 집합에서도 여집합, 합집합 등의 집합의 연산을 정의할 수 있다.
퍼지 집합
A
{\displaystyle A}
에 대하여 그 여집합
A
c
{\displaystyle A^{c}}
는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.
μ
A
c
(
x
)
=
1
−
μ
A
(
x
)
{\displaystyle \mu _{A^{c}}(x)=1-\mu _{A}(x)}
두 퍼지 집합
A
{\displaystyle A}
와
B
{\displaystyle B}
에 대하여 그 합집합
A
∪
B
{\displaystyle \scriptstyle A\cup B}
는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.
μ
A
∪
B
(
x
)
=
max
(
μ
A
(
x
)
,
μ
B
(
x
)
)
{\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\max \left(\mu _{A}\left(x\right),\mu _{B}\left(x\right)\right)}
즉 두 퍼지 집합에 대한 소속도 중에서 큰 쪽의 소속도를 가지게 된다.
두 퍼지 집합
A
{\displaystyle A}
와
B
{\displaystyle B}
에 대하여 그 교집합
A
∩
B
{\displaystyle \scriptstyle A\cap B}
는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.
μ
A
∩
B
(
x
)
=
min
(
μ
A
(
x
)
,
μ
B
(
x
)
)
{\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\min \left(\mu _{A}\left(x\right),\mu _{B}\left(x\right)\right)}
퍼지 교집합은 퍼지 차집합과 상대적으로, 소속도 중에서 작은 쪽의 소속도를 가지게 된다.
고전적인 집합에서와 같이, 두 퍼지 집합
A
{\displaystyle A}
와
B
{\displaystyle B}
에 대하여 그 차집합
A
−
B
{\displaystyle A-B}
는 다음과 같이 정의된다.
A
−
B
=
A
∩
B
c
{\displaystyle \displaystyle A-B=A\cap B^{c}}
외부 링크 [ 편집 ]