퍼지 집합

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퍼지 집합(fuzzy set)은 기존의 집합퍼지 논리 개념을 사용해 확장한 것으로, 각 원소는 그 집합에 속하는 정도(소속도)가 존재한다. 이때 소속도는 0과 1 사이의 실수로 표현되고, 원소가 집합에 완전히 속하는 경우를 1, 전혀 속하지 않는 경우를 0으로 나타낸다.

퍼지 집합은 로트피 자데가 고전적인 집합을 확장한 개념으로서 고안하였다.

정의[편집]

퍼지 집합 A은 고전적인 집합 U와 소속함수(membership function) \scriptstyle \mu_A: \, U \rarr [0, 1]에 의하여 정의된다. 여기서 x \in U에 대해 \scriptstyle \mu_A(x)A에 대한 x의 소속도를 나타낸다. (여기에서 소속함수가 고전적인 집합에서의 표시함수의 확장임을 알 수 있다.) 이것을 다음과 같이 표기한다.

A = \left\{(x, \mu_A(x))|x \in U \right\}

이것을 소속함수 표기법이라 한다. U가 유한집합일 경우 고전적인 집합의 원소나열법과 비슷한 방법으로 표시할 수 있다.

예를 들어 \scriptstyle U = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}이고, \scriptstyle \mu_A(1) = 0.7,\, \mu_A(2) = 0.5,\, \mu_A(3) = 0.2,\, \mu_A(4) = 0,\, \mu_A(5) = 0이라면 이것을

A = \left\{(1, 0.7), (2, 0.5), (3, 0.2) \right\}

와 같은 순서쌍들의 나열로 표시할 수 있다.

그러나 \scriptstyle \left\{ x \in U | \mu_A(x) \ne 0 \right\}이 무한집합일 경우에는 이와 같은 방법을 적용할 수 없다.

기본 개념[편집]

전체집합과 공집합[편집]

위의 예에서 소속함수들의 정의역인 집합 U를 전체집합이라 한다. 전체집합은 고전적인 집합임을 알 수 있다. 즉 모든 x에 대해 U에 대한 x의 소속도가 1이다. 쌍대 개념으로, 공집합은 U 안의 모든 x에 대해 그에 대한 x의 소속도가 0인 집합을 말한다.

연산[편집]

전통적인 집합 개념과 같이, 퍼지 집합에서도 여집합, 합집합 등의 집합의 연산을 정의할 수 있다.

  • 퍼지 여집합

퍼지 집합 A에 대하여 그 여집합 A^c는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.

\mu_{A^c}(x) = 1 - \mu_A(x)
  • 퍼지 합집합

두 퍼지 집합 AB에 대하여 그 합집합 \scriptstyle A \cup B는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.

\mu_{A \cup B}(x) = \max \left ( \mu_A \left ( x \right ), \mu_B \left ( x \right ) \right )

즉 두 퍼지 집합에 대한 소속도 중에서 큰 쪽의 소속도를 가지게 된다.

  • 퍼지 교집합

두 퍼지 집합 AB에 대하여 그 교집합 \scriptstyle A \cap B는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.

\mu_{A \cap B}(x) = \min \left ( \mu_A \left ( x \right ), \mu_B \left ( x \right ) \right )

퍼지 교집합은 퍼지 차집합과 상대적으로, 소속도 중에서 작은 쪽의 소속도를 가지게 된다.

  • 퍼지 차집합

고전적인 집합에서와 같이, 두 퍼지 집합 AB에 대하여 그 차집합 A - B는 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle A - B = A \cap B^c

바깥 고리[편집]