여집합

집합론에서, 집합 A의 여집합(餘集合, 또는 보집합(補集合), complement set) A^C는, 전체집합 U의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합이다. 집합 B에 대한 A의 차집합(差集合, relative complement, set difference) B ∖ A는, B의 원소 중 A의 원소가 아닌 것들의 집합이다.

여집합은 차집합의 특수한 예이다. 반대로 말해, 차집합은 여집합을 일반화한 개념이다.

벤 다이어그램으로 표현한 여집합 A^C

전체집합 U가 정의되었을 때, 그의 부분집합 집합 A의 여집합은 A^C, A', A, ∁_UA, ∁A, 또는 U ∖ A로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

$A^{C}=\{x\in U:x\notin A\}$

다른 말로,

임의의 x ∈ U에 대해, x ∈ A^C일 필요충분조건은 x ∉ A.

여집합의 성질

 이 내용에 대해서는 드 모르간의 법칙 문서를 참고하십시오.

$(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

$(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$

$A^{c}\cap A=\emptyset$

$A-B=A\cap B^{c}=A^{pure}$

$(A^{c})^{c}=A$

$U^{c}=\emptyset$

연산

$(\emptyset \cup A^{c})\cup A=\emptyset \cup (A^{c}\cup A)=\emptyset \cup U=U$

$(A\cup A)\cap (A^{c}\cup A)=(A\cap A^{c})\cup A=\emptyset \cup A=A$

$(A-B)\cap \left((B\cup B)\cap (B^{c}\cup B)\right)=A^{pure}\cap ((B\cap B^{c})\cup B)=A^{pure}\cap B=\emptyset$

$(A-B)\cap (B-A)=(A\cap B^{c})\cap (B\cap A^{c})=A^{pure}\cap B^{pure}=\emptyset$

차집합

벤 다이어그램으로 표현한 차집합 B ∖ A

집합 B에 대한 A의 차집합은 B ∖ A 또는 B - A로 표기되며, 다음과 같은 집합이다.

$B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}$

즉

임의의 대상 x에 대해, x ∈ B ∖ A일 필요충분조건은 x ∈ B 또한 x ∉ A.

여집합은 부분집합 관계인 두 집합의 차집합과 같다. U에서의 A의 여집합은 곧 차집합 U ∖ A이다.

차집합 연산의 성질에 대해서는 집합대수 글 참고. 다음은 차집합의 간단한 예이다.

• {1, 2, 3} ∖ {2, 3, 4} = {1}
• {2, 3, 4} ∖ {1, 2, 3} = {4}

위 문단의 여집합 예시인

• {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {2, 3, 4, 5} = {1, 6}
• $\scriptstyle {\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {I} }$

는 차집합의 예시이기도 하다.

같이 보기

• 대칭차