해석학 에서 오일러 변환 (Euler Transformation)이란 레온하르트 오일러 의 이름이 붙은 무한급수 의 변환 기법이다. 이 변환은 수열의 이항 변환 (Binomial Transformation)(혹은 마르코프 변환 )을 이용한 중요한 응용 사례로 꼽힌다. 이 기법을 이용하면 일반적으로는 구하기 힘든 형태의 무한급수의 합을 구할 수 있는데, 특히 교대급수 가 양수항 급수로 변환되는 경우가 많으므로 상당히 유용하다.
공식화 [ 편집 ]
오일러 변환은 수열
a
n
{\displaystyle {a_{n}}}
에 이항 변환
Δ
n
{\displaystyle \Delta ^{n}}
을 적용하여, 다음과 같이 정의된다.
E
a
=
∑
k
=
0
∞
Δ
k
a
0
2
k
+
1
{\displaystyle E_{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}}
이때, 오일러 변환의 가능성을 보장해주는 정리는 다음과 같다.
만약 급수
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
a
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}}
가 수렴하면, 오일러 변환
E
a
{\displaystyle E_{a}}
도 역시 수렴하고,
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
a
k
=
E
a
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}=E_{a}}
가 성립한다.
즉, 교대급수 판정법 에 의해
a
n
{\displaystyle {a_{n}}}
이 0으로 수렴하는 감소수열이기만 하면 오일러 변환은 수렴하고, 위 정리를 이용할 수 있다.
오일러 변환을 이용해 고전적인 교대급수
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
1
1
+
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{1+k}}}
의 값을 구해 보자.
우선 수열
a
n
=
1
1
+
n
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{1+n}}}
에 이항 변환을 적용하여
Δ
n
a
0
{\displaystyle \Delta ^{n}a_{0}}
을 구하면,
Δ
0
a
0
=
1
{\displaystyle \Delta ^{0}a_{0}=1}
Δ
1
a
0
=
1
−
1
2
=
1
2
{\displaystyle \Delta ^{1}a_{0}=1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}
Δ
2
a
0
=
1
−
2
2
+
1
3
=
1
3
{\displaystyle \Delta ^{2}a_{0}=1-{\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}}
Δ
3
a
0
=
1
−
3
2
+
3
3
−
1
4
=
1
4
{\displaystyle \Delta ^{3}a_{0}=1-{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{3}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}}
...
Δ
n
a
0
=
1
n
+
1
{\displaystyle \Delta ^{n}a_{0}={\frac {1}{n+1}}}
이 된다.(이는 재귀 관계를 조금만 생각해보면 명백하다. 파스칼 삼각형과 유사한 도식을 그리고, 맨 왼쪽 변과 그 바로 오른쪽 줄을 고려하면 된다) 따라서,
a
n
{\displaystyle {a_{n}}}
의 오일러 변환은,
E
a
=
∑
k
=
0
∞
Δ
k
a
0
2
k
+
1
=
∑
k
=
0
∞
1
(
k
+
1
)
2
k
+
1
{\displaystyle E_{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)2^{k+1}}}}
이 되고, 맨 우변의 식은 물론
l
o
g
2
{\displaystyle log2}
가 된다.
같이 보기 [ 편집 ]
참고 문헌 [ 편집 ]
Konrad Knopp, Theory And Application of Infinite Series , Dover, 1990