야코비 행렬

미적분학

미분
미분표 곱셈 법칙 몫의 규칙 연쇄법칙 역함수 정리 음함수의 미분 음함수 정리 롤의 정리 평균값 정리 다르부의 정리 로피탈의 정리 테일러 정리 미분 연산자 론스키 행렬식

적분
적분표 부정적분 리만 합 리만 적분 적분의 평균값 정리 치환적분 삼각치환적분 쌍곡치환적분 바이어슈트라스 치환 부분적분 회전체 사다리꼴 공식 심프슨의 법칙 이상적분 아벨의 합 공식

무한급수

벡터 미적분학
직교좌표계 극좌표계 원통좌표계 구면좌표계 기울기 발산 회전 라플라스 연산자 그린 정리 스토크스의 정리 발산정리 그린의 항등식 편미분 전미분 야코비안 행렬 헤시안 행렬 선적분 선적분의 기본정리 중적분 면적분 부피 적분 푸비니의 정리 가우스 적분

v • d • e • h

미적분학에서, 야코비 행렬(Jacobian matrix)은 유클리드 공간 사이의 함수의 도함수 행렬이다. 야코비안(Jacobian)은 야코비 행렬의 행렬식이다.

정의 [편집]

미분가능 함수 $\mathbf f\colon\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ 의 $\mathbf x_0\in\mathbb R^m$ 에서의 야코비안 행렬 $J|_{\mathbf x_0}=D\mathbf f|_{\mathbf x_0}$ 은 다음과 같은 성분을 가진 $n\times m$ 행렬이다.

$J_{ij}|_{\mathbf x_0}=\left.\frac{\partial f^i}{\partial x^j}\right\vert_{\mathbf x_0}$ .

$m=n$ 이라고 하면, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로 그 행렬식을 취할 수 있다. 이를 야코비안 또는 야코비 행렬식이라고 한다.

$n=1$ 이라면, 야코비 행렬은 $1\times m$ 행렬이며, 그 전치행렬을 $m$ 차원 벡터로 간주할 수 있다. 이는 함수의 기울기 $\nabla f$ 와 같다.

예 [편집]

이변수 함수 $f(x,y)=(xy,\sin xy)$ 의 야코비 행렬은 $\begin{pmatrix}y & x \\ y\cos xy & x\cos xy\end{pmatrix}$ 로 주어진다. 이 행렬은 정사각행렬이므로 이 행렬의 행렬식이 $f(x,y)$ 의 야코비안이 되고, 계산해보면 0이 된다.