심프슨의 법칙

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
임의의 함수 f(x) 의 적분값은 이차 함수 P(x) 의 적분값으로 어림 잡을 수 있다.
미적분학
v  d  e  h

수치 해석에서 심프슨의 법칙(영어: Simpson's rule)은 뉴턴-코츠 법칙의 한 경우로, 토머스 심프슨이 만든 적분법이다. 이 법칙은 다음과 같은 적분식의 근사값을 구하는 데 쓰인다.

\int_{a}^{b} f(x)\, dx

기본[편집]

심프슨의 법칙에서는 P(x)라는 이차방정식을 이용해 f(x)의 근사값을 구한다. 이때 P(x)a, b, 그리고 둘의 중간값 m = \textstyle \frac{a+b}2에서 f(x)와 같은 값을 갖는 근사식이다. 라그랑주의 다항식 보간법을 사용해서 P(x)를 구하면 다음을 얻는다.

P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+
f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+
f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}

이 식을 전개하면 심프슨의 법칙으로 알려진 다음 공식을 구할 수 있다.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P(x) \, dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

이 공식으로 적분을 구할 때 생기는 오차는 다음과 같다. 여기서 h = \textstyle \frac{b-a}2\xiab 사이에 있는 임의의 숫자이다.

-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)

심프슨의 법칙의 확장[편집]

위의 공식은 적분 구간 [a, b]이 작을 때는 적합하지만 그렇지 않으면 상당한 오차를 가진 값이 나온다. 대부분의 경우 적분 구간이 작지 않으므로, 먼저 몇 개의 작은 구간으로 나누고 각 구간에 심프슨의 법칙을 적용해 그 값들을 합해야 한다. 여기서 확장된 공식을 유도할 수 있다.

\int_a^b f(x) \, dx\approx 
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)
\bigg]

이 식에서 n은 구간 [a, b]을 나눈 부분구간의 총 개수를 뜻하며 짝수여야 하고, h = \textstyle \frac{b-a}n은 각 부분구간의 길이이다. 이 공식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.

\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg]

심프슨의 법칙의 오차로부터 이 공식의 오차를 다음과 같이 구할 수 있다. 여기서 h = \textstyle \frac{b-a}n이며 각 부구간의 크기를 나타낸다.

-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi)

같이 보기[편집]