곱셈 법칙

곱셈 법칙(product rule)은 두 함수의 곱을 미분하는 경우에 대한 법칙으로, 라이프니츠 법칙이라고도 한다.

두 함수를 $f$, $g$라고 했을 때 두 함수를 곱한 $fg$를 미분한 결과는

$(fg)'=f'g+fg'$

가 된다.

증명

함수 f를 $f(x) = g(x)h(x)$로 정의한다. 이때 $f'(x)$를 도함수의 정의에 따라 구하면,

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \left(g(x)\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} + h(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)$

여기에서 $h(x)$는 $x$에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

$\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)$

따라서 다음의 결과가 나온다.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\right]$

$= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right]$

$= g(x)h'(x) + h(x)g'(x)$

일반화

세 함수의 곱을 미분하는 경우에도 같은 방법을 사용하여 구할 수 있다.

$(fgh)' = (f(gh))' = f'(gh) + f(gh)' = f'gh + fg'h + fgh'$

이를 일반화하면, $f_1$부터 $f_n$까지의 함수를 곱한 함수의 도함수는 다음과 같다.

$\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x) = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)} \prod_{i=1}^k f_i(x) \right)$

고계도함수의 경우

두 함수의 곱의 미분을 여러 번 하는 경우 다음 공식을 얻을 수 있다.

$(f g)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot f^{(n-k)}(x)\cdot g^{(k)}(x)$