곱셈 법칙

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
미적분학
v  d  e  h

곱셈 법칙(product rule)은 두 함수의 곱을 미분하는 경우에 대한 법칙으로, 라이프니츠 법칙이라고도 한다.

두 함수를 f, g라고 했을 때 두 함수를 곱한 fg를 미분한 결과는

(fg)'=f'g+fg'

가 된다.

증명[편집]

함수 f를 f(x) = g(x)h(x)로 정의한다. 이때 f'(x)도함수의 정의에 따라 구하면,

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \left(g(x)\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} + h(x + \Delta x) \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)

여기에서 h(x)x에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)

따라서 다음의 결과가 나온다.

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\right]
= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right]
= g(x)h'(x) + h(x)g'(x)


일반화[편집]

세 함수의 곱을 미분하는 경우에도 같은 방법을 사용하여 구할 수 있다.

(fgh)' = (f(gh))' = f'(gh) + f(gh)' = f'gh + fg'h + fgh'

이를 일반화하면, f_1부터 f_n까지의 함수를 곱한 함수의 도함수는 다음과 같다.

\frac{d}{dx} \prod_{i=1}^k f_i(x)
 = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\frac{d}{dx} f_i(x)}{f_i(x)} \prod_{i=1}^k f_i(x) \right)

고계도함수의 경우[편집]

두 함수의 곱의 미분을 여러 번 하는 경우 다음 공식을 얻을 수 있다.

(f g)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot f^{(n-k)}(x)\cdot  g^{(k)}(x)

증명[편집]