클리퍼드 대수

추상대수학에서, 클리퍼드 대수(Clifford代數, 영어: Clifford algebra)는 이차 형식에 의하여 정의되는 단위 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.

정의

보편 성질

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q\colon V\to K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (V,Q)$는 다음 공리를 만족시키는, $V$를 포함하는 가장 일반적인 $K$-단위 결합 대수다.

$v^{2}=Q(v)\qquad \forall v\in V$

즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. $K$ 위의 단위 결합 대수들의 범주 $\operatorname {uAssocAlg} _{K}$에서, $j(v)^{2}=Q(v)1_{A}\forall v\in V$를 만족시키는 임의의 대수 $(A,j\colon V\to A)$가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 $f\colon \operatorname {Cl} (V,Q)\to A$가 존재한다.

${\begin{matrix}V&{\overset {i}{\to }}&\operatorname {Cl} (V,Q)\\&{\scriptstyle j}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists !f\\&&A\end{matrix}}$

여기서 $i\colon V\to \operatorname {Cl} (V,Q)$는 보통 생략한다.

이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 $\operatorname {QMod} _{K}$에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다.

$\operatorname {Cl} \colon \operatorname {QMod} _{K}\to \operatorname {uAssocAlg} _{K}$

($\operatorname {QMod} _{K}$의 사상은 가군 준동형 $\phi \colon M\to N$ 가운데 $Q_{M}=\phi \circ Q_{N}$인 것이다.)

구성

클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.

$\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)=\operatorname {T} _{K}(V)/{\mathfrak {i}}(Q)$

여기서 $\operatorname {T} _{K}(V)$는 $V$에 대한 $K$-텐서 대수

$T(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus V\otimes _{K}V\otimes _{K}V+\cdots$

이며,

${\mathfrak {i}}(Q)=(v\otimes v-Q(v))_{v\in V}=\left\{w\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\otimes v_{i}-Q(v_{i})\right)w'\colon w,w'\in \operatorname {T} _{K}(V),\;n\in \mathbb {N} ,\;v_{1},\dots ,v_{n}\in V\right\}$

는 $\{v\otimes v-Q(v)\colon v\in V\}$에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다.

이 경우

$uv+vu=(u+v)^{2}-u^{2}-v^{2}=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$

이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 $Q$의 연관 쌍선형 형식과 같다.

성질

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)$는 $K$-가군으로서 외대수 $\Lambda _{K}(V)$와 동형이다. 만약 $Q=0$일 경우 $\operatorname {Cl} _{K}(V,0)$는 외대수 $\Lambda _{K}(V)$와 대수로서 동형이지만, $Q\neq 0$일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.

만약 $Q$가

$V=U\oplus W$

$Q(u+w)=Q(u)\qquad \forall u\in U,w\in W$

라면 (즉, $Q|_{W}=0$라면),

$\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)\cong \Lambda _{K}(W)\otimes _{K}\operatorname {Cl} _{K}(U,Q)$

가 된다. 따라서, 만약 $V$가 반단순 가군이라면 $V\cong (\operatorname {rad} Q)\oplus V/(\operatorname {rad} Q)$이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, $V$가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 $Q$가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, $K$가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.

$K$가 체이며, $V$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 $n$이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)$는 $2^{n}$차원 벡터 공간이다. $\{e_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$이 $V$의 기저라고 하자. 그렇다면 $\operatorname {Cl} (V,Q)$의 기저는 다음과 같이 주어진다.

$\{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\dotsb e_{i_{k}}|1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n\}$

환론적 성질

중심

$2^{n}$차원 음의 정부호 실수 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} )$의 중심은 다음과 같다.

$\operatorname {Z} \left(\operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} )\right)={\begin{cases}\mathbb {R} &2\mid n\\\mathbb {R} +\mathbb {R} e_{1}e_{2}\cdots e_{n}&2\nmid n\end{cases}}$

여기서 $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$은 $\mathbb {R} ^{n}$의 정규 직교 기저이다.

비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 실수 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (p,q;\mathbb {R} )$의 가역원군 $\operatorname {Unit} (\operatorname {Cl} (p,q;\mathbb {R} ))$은 $2^{n}$차원 리 군을 이룬다.

대합

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)$ 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

$\alpha \colon v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\mapsto (-)^{k}v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\qquad (\forall v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}\in V)$

(만약 가환환 $K$의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) $\alpha ^{2}$는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다.

마찬가지로, $\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)$ 위에 다음과 같은 반자기 동형(영어: anti-automorphism)이 존재한다.

$(-)^{\top }\colon \operatorname {Cl} _{K}(V,Q)\mapsto \operatorname {Cl} _{K}(V,Q)^{\operatorname {op} }$

$(-)^{\top }\colon v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\mapsto v_{k}\cdots v_{2}v_{1}\qquad (\forall v_{1},v_{2},\dots ,v_{k}\in V)$

(여기서 $(-)^{\operatorname {op} }$는 반대환을 뜻한다.) $\alpha$와 $(-)^{\top }$는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 클리퍼드 수반(영어: Clifford conjugation)을 얻는다.

${\bar {x}}=\alpha (x^{\top })=(\alpha (x))^{\top }$

$x\mapsto x^{\top }$와 $x\mapsto {\bar {x}}$ 역시 대합을 이룬다.

이 연산들은 $\mathbb {N}$ 등급이 $k$인 원소 $x$에 대하여 다음과 같다.

$\alpha (x)=(-)^{k}x$

$x^{\top }=(-)^{k(k-1)/2}x$

${\bar {x}}=(-)^{k(k+1)/2}x$

즉, 이는 $k{\bmod {4}}$에 대하여 다음과 같이 의존한다.

연산	$k\equiv 0{\pmod {4}}$	$k\equiv 1{\pmod {4}}$	$k\equiv 2{\pmod {4}}$	$k\equiv 3{\pmod {4}}$
$\alpha (x)$	$+x$	$-x$	$+x$	$-x$
$x^{\top }$	$+x$	$+x$	$-x$	$-x$
${\bar {x}}$	$+x$	$-x$	$-x$	$+x$

스칼라 확대

가환환 $K$, ${\tilde {K}}$과 환 준동형 $\phi \colon K\to {\tilde {K}}$ 및 $K$-가군 $M$ 및 그 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(M,Q)$의 스칼라 확대 $(M\otimes _{K}{\tilde {K}},Q\otimes _{K}1)$의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 $\mathbb {Z} /2$-등급 ${\tilde {K}}$-대수이다.

$\operatorname {Cl} (M\otimes _{K}{\tilde {K}},Q\otimes _{K}1)\cong \operatorname {Cl} (M,Q)\otimes _{K}{\tilde {K}}$

클리퍼드 군

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (V,Q)$의 클리퍼드 군(영어: Clifford group)

$\Gamma (\operatorname {Cl} (V,Q))\subseteq \operatorname {Unit} \left(\operatorname {Cl} (V,Q)\right)$

은 다음과 같은 원소 $x\in \operatorname {Cl} (V,Q)$로 구성된, 가역원군의 부분군이다.

• $x$는 가역원이다.
• $xV\alpha (x)^{-1}\subseteq V$이다.

정의에 따라, 클리퍼드 군 $\Gamma (\operatorname {Cl} (V,Q))$는 $V$ 위의 $K$-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 $Q$를 보존하며, 따라서 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\Gamma (\operatorname {Cl} (V,Q))\to \operatorname {O} (V,Q)$

클리퍼드 군 $\Gamma (\operatorname {Cl} (V,Q))$는 $\{v\in V\colon Q(v)\in \operatorname {Unit} (K)\}$를 부분 집합으로 포함한다 ($\operatorname {Unit} (K)$는 $K$의 가역원군). 이 경우

$v^{-1}={\frac {v}{Q(v)}}$

$vu\alpha (v)^{-1}=-{\frac {vuv}{Q(v)}}={\frac {v^{2}u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}}=u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}\qquad \forall u\in V$

이다. 즉, $v\in V$의 작용은 $u$를 축 $v$에 대하여 반사시키는 것이다.

특히, $K=\mathbb {R}$이며, $V$가 $n$차원 실수 벡터 공간이며, $Q$가 음의 정부호 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, $\Gamma (\operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} ))$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 $\Gamma _{0}(\operatorname {Cl} (V,Q))$는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \Gamma \to \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\to 1$

$1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \Gamma _{0}\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1$

즉, $\Gamma (\operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} ))$는 $n(n-1)/2+1$차원 리 군이다. 전체 가역원군 $\operatorname {Unit} (\operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} ))$은 $2^{n}$차원 리 군이므로, 이는 여차원 $2^{n}-n(n-1)/2-1$의 부분군이다.

스핀 군과 핀 군

클리퍼드 군 $\Gamma (\operatorname {Cl} (V,Q;K))$의 원소 가운데, 스피너 노름이 $\pm 1$인 원소로 구성된 부분군을 핀 군(영어: pin group)이라고 한다.

$\operatorname {Pin} (V,Q;K)=\left\{x\in \Gamma (\operatorname {Cl} (V,Q;K))\colon {\tilde {Q}}(x)=\pm 1\right\}$

$K$가 체이며, $V$가 유한 차원 벡터 공간이며, $Q$가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.

$D\colon \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2$

$D\colon x\mapsto \operatorname {rank} (u\mapsto u-xu\alpha (x)^{-1}){\bmod {2}}$

즉, 이는 $u$로 인하여 생성되는 $V$-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 $K$의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

$D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha (x)^{-1})}$

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.

$\operatorname {Spin} (V,Q;K)=\ker D=\{x\in \operatorname {Pin} (V,Q;K)\colon D(x)=0\}$

(스)핀 군은 다음과 같은 군의 완전열에 등장한다.

$1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}$

$1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} (V,Q;K)\to \operatorname {SO} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}$

(여기서 $\{pm1\}$은 $\operatorname {char} K=2$일 경우 자명군이며, 아닐 경우 크기 2의 순환군이다.)

등급과 여과

클리퍼드 대수는 $K$-가군으로서 외대수 $\Lambda _{K}(V)$와 동형이므로, 자연수 등급을 갖는다. 그러나 클리퍼드 대수의 곱셈은 ($v\otimes v=Q(v)$이므로) 오직 $\mathbb {Z} /2$ 등급만을 보존한다.

클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)$에서, 짝수 등급 부분 대수 $\operatorname {Cl} _{K}^{0}(V,Q)$ 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약

$V=\operatorname {Span} _{K}\{a\}\oplus U$

$Q(ta+u)=t^{2}Q(a)+Q|_{U}(u)\qquad \forall t\in K,\;u\in U$

$Q(a)\neq 0$

라면,

$\operatorname {Cl} ^{0}(V,Q)\cong \operatorname {Cl} (U,-Q(a)Q|_{U})$

이다.

클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (V,Q)$ 위에는 또한 자연스러운 상승 여과가 존재한다. 구체적으로, 텐서 대수 $\operatorname {T} (V)$는 등급 대수이므로 다음과 같은 상승 여과를 정의할 수 있다.

$F^{n}\operatorname {T} (V)=\bigoplus _{m\leq n}\operatorname {T} ^{m}(V)=K\oplus V\oplus V\otimes _{K}V\oplus \cdots V^{\otimes _{K}n}$

$K=F^{0}\operatorname {T} (V)\subseteq F^{1}\operatorname {T} (V)\subseteq F^{2}\operatorname {T} (V)\subseteq \cdots$

클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 ${\mathfrak {i}}(Q)$은 이 여과와 호환된다. 구체적으로, $(F^{n}\operatorname {T} (V)\cap {\mathfrak {i}}(Q))/\operatorname {F} ^{n+1}\operatorname {T} (V)$는 $F^{n}\operatorname {T} (V)/F^{n+1}\operatorname {T} (V)$의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 $\operatorname {Cl} (V,Q)$ 위에도 여과

$F^{n}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{m\leq n}\operatorname {T} ^{m}(V)/{\mathfrak {i}}(Q)$

가 존재한다. 이 여과로부터 정의되는 자연수 등급의 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다.

$\bigoplus _{n=0}^{\infty }{\frac {F^{n}\operatorname {Cl} (V,Q)}{F^{n-1}\operatorname {Cl} (V,Q)}}\cong \Lambda (V)$

노름과 내적

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)$ 위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다.

$\langle x,y\rangle =\langle x^{\top }y\rangle$

${\tilde {Q}}(x)=\langle x^{\top }x\rangle$

여기서 $\langle -\rangle$은 $\mathbb {N}$ 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.

이는 다음 성질을 만족시킨다.

$\langle x,ay\rangle =\langle a^{\top }x,y\rangle$

분류

직합에 대한 분해

가환환 $K$ 및 임의의 두 $\mathbb {Z} /2$-등급 $K$-단위 결합 대수 $A$, $A'$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$B=A\otimes _{A}'$

위에 다음과 같은 $\mathbb {Z} /2$등급 $K$-단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다.

$B_{0}=A_{0}\otimes _{K}A'_{0}\oplus A_{1}\otimes _{K}A'_{1}$

$B_{1}=A_{0}\otimes _{K}A'_{1}\oplus A_{1}\otimes _{K}A'_{0}$

$(a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=(-)^{\deg a'\deg b'}(ab)\otimes _{K}(a'b')\qquad (a,b\in A,\;a',b'\in A')$

여기서 $A_{0}$ 및 $A_{1}$은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 $\mathbb {Z} /2$등급 $K$-단위 결합 대수를 $A{\hat {\otimes }}_{K}A'$으로 표기하자.

가환환 $K$ 위의 두 이차 공간 $(V,Q)$, $(V',Q')$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합 $(V\oplus V',Q\oplus Q')$ 위의 클리퍼드 대수는 $\mathbb {Z} /2$-등급 $K$-단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.

$\operatorname {Cl} (V\oplus V',Q\oplus Q';K)\cong \operatorname {Cl} (V,Q;K){\hat {\otimes }}_{K}\operatorname {Cl} (V',Q';K)$

복소수 클리퍼드 대수

$K=\mathbb {C}$가 복소수체이며, $(V,Q)$가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 $n=\dim _{\mathbb {C} }V$만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 $\operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )$로 쓰면, 이는 $\mathbb {C}$-단위 결합 대수로서 다음과 같다.

$\operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Mat} (2^{n/2};\mathbb {C} )&2\mid n\\\operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {C} )\oplus \operatorname {Mat} (2^{(n-1)/2};\mathbb {C} )&2\nmid n\end{cases}}$

즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다.

$\operatorname {Cl} (n+2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }\operatorname {Cl} (n;\mathbb {C} )$

특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.

$\operatorname {Cl} (0;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C}$

$\operatorname {Cl} (1;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \oplus \mathbb {C}$ (테사린, tessarine)

$\operatorname {Cl} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )$ (2×2 복소 행렬)

실수 클리퍼드 대수

$K=\mathbb {R}$가 실수체이며, $V$가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, $Q$가 부호수가 $(p,q)$인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 $\operatorname {Cl} (p,q;\mathbb {R} )$로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.

$\operatorname {Cl} (0,0;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R}$ (실수)

$\operatorname {Cl} (0,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {C}$ (복소수)

$\operatorname {Cl} (1,0;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$ (분할복소수)

$\operatorname {Cl} (0,2;\mathbb {R} )\cong \mathbb {H}$ (사원수)

$\operatorname {Cl} (2,0;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} (1,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )$ (2×2 실수 행렬)

또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다.

$\operatorname {Cl} (p+2,q;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cl} (q,p;\mathbb {R} )$

$\operatorname {Cl} (p+1,q+1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cl} (p,q;\mathbb {R} )$

$\operatorname {Cl} (p,q+2;\mathbb {R} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\operatorname {Cl} (q,p;\mathbb {R} )$

이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

즉, 실수 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (p,q;\mathbb {R} )$들은 다음과 같은 클리퍼드 시계(Clifford時計, 영어: Clifford clock)로 나타낼 수 있다.

${\begin{matrix}_{\displaystyle {\mathsf {8}}}&&^{\displaystyle {\mathsf {1}}}&&_{\displaystyle {\mathsf {2}}}\\&_{\displaystyle \mathbb {R} }&^{\displaystyle \mathbb {R} ^{\oplus 2}}&_{\displaystyle \mathbb {R} }\\{\mathsf {7}}\quad &\mathbb {C} \quad &&\quad \mathbb {C} &\quad {\mathsf {3}}\\&^{\displaystyle \mathbb {H} }&_{\displaystyle \mathbb {H} ^{\oplus 2}}&^{\displaystyle \mathbb {H} }\\^{\displaystyle {\mathsf {6}}}&&_{\displaystyle {\mathsf {5}}}&&^{\displaystyle {\mathsf {4}}}\end{matrix}}$

즉, $\operatorname {Cl} (p,q;\mathbb {R} )$는 $p-q{\bmod {8}}$이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 $\dim _{\mathbb {R} }\operatorname {Cl} (p,q;\mathbb {R} )=2^{p+q}$으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, $n\equiv 3{\pmod {8}}$일 때

$\operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n}/(2\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {H} ))\oplus \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n}/(2\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {H} ))=\operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n-3})\oplus \operatorname {Mat} (\mathbb {H} ;2^{n-3})$

이다.

예

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} _{K}(V,Q)$는 특수한 경우 다음과 같다.

• 만약 $Q=0$이라면 $\operatorname {Cl} _{K}(V,0)=\Lambda _{K}(V)$는 외대수이다.
• 만약 $V=0$이 자명 가군이며, $Q=0$이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, $\operatorname {Cl} _{K}(0,0)\cong K$이다.
• 만약 $V=K$가 1차원 자유 가군이며, $Q\colon k\mapsto ak^{2}$라면, $\operatorname {Cl} _{K}(K,Q)\cong K[x]/(x^{2}-a)$이다. 따라서, 이 경우는 $a=Q(1)$의 동치류 $[a]\in K/K^{2}$에 의하여 분류된다.

클리퍼드 해석학

복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.

디랙 작용소

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 속의 열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 위의 ${\mathcal {C}}^{1}$ 함수

$f\colon U\to \operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} )$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 작용소

$D=\sum _{i=1}^{n}e_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$

를 생각할 수 있다 ($e_{i}$는 $\mathbb {R} ^{n}$의 정규 직교 기저). 만약 $f$가

$0={\overset {\rightarrow }{D}}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(e_{i}f(x))$

를 만족시킨다면, $f$를 왼쪽 정칙 함수(영어: left holomorphic/monogenic/regular function)라고 하며, 만약 $f$가

$0=f{\overset {\leftarrow }{D}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f(x)e_{i})$

를 만족시킨다면, $f$를 오른쪽 정칙 함수(영어: right holomorphic/monogenic/regular function)라고 한다.

디랙 작용소의 제곱은

$D^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}e_{i}e_{j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}=-\nabla ^{2}$

이므로, $iD$는 라플라스 연산자 $\nabla ^{2}$의 일종의 제곱근이다.

코시 적분 공식

클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분정리가 성립한다. 즉,

• 두 열린집합 $V\subseteq \operatorname {cl} (V)\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$가 주어졌으며 ($\operatorname {cl} (V)$는 위상수학적 폐포)
• $V$는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며,
• 경계 $\partial V$가 조각별 ${\mathcal {C}}^{1}$ 미분 가능 다양체를 이루며,
• $f,g\colon U\to \operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} )$는 ${\mathcal {C}}^{1}$ 함수이며,
• $f$는 왼쪽 정칙 함수이며 $g$는 오른쪽 정칙 함수라고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

$0=\oint _{\partial V}g(x){\hat {n}}_{\partial V}(x)f(x)\;\mathrm {d} \!x^{n-1}$

여기서

• ${\hat {n}}_{\partial V}\colon \partial V\to \mathbb {R} ^{n}\subset \operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} )$는 $\partial V$ 위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며,
• $\mathrm {d} \!x^{n-1}$는 $\partial V$ 위의 르베그 측도이다.

또한, 다음이 성립한다.

$f(x_{0})={\frac {1}{\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})}}\oint _{\partial V}{\frac {(x-x_{0}){\hat {n}}_{\partial V}(x)f(x)}{\|x-x_{0}\|^{n}}}\;\mathrm {d} \!x^{n-1}$

$g(x_{0})={\frac {1}{\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})}}\oint _{\partial V}{\frac {g(x){\hat {n}}_{\partial V}(x)(x-x_{0})}{\|x-x_{0}\|^{n}}}\;\mathrm {d} \!x^{n-1}$

여기서

$\operatorname {vol} (\mathbb {S} ^{n-1})={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}$

는 $n-1$차원 단위 초구의 넓이이다.

등각 변환

리만 구 ${\hat {\mathbb {C} }}$ 위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\qquad (a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\;ad-bc\neq 0)$

로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, $\mathbb {S} ^{n}={\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}$ 위의 등각 변환은 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} )$ 계수의 뫼비우스 변환

$x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}\qquad \left(a,b,c,d\in \operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} )\right)$

으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

를 등각 변환의 알포르스-팔렌 행렬(영어: Ahlfors–Vahlen matrix)이라고 한다. 2×2 행렬

$M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;\operatorname {Cl} (0,n;\mathbb {R} ))$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:§7.5, 104}

• $M$은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, ${\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}$ 위의 등각 변환을 정의한다.
• $ac^{\top },bd^{\top }\in \mathbb {R} ^{n}$이며, $ad^{\top }-bc^{\top }\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$이다.

특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.^{:§7.4, 103}

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}d^{\top }&-b^{\top }\\-c^{\top }&a^{\top }\end{pmatrix}}$

응용

K이론

위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.

물리학

양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬 $\gamma ^{\mu }$ ($\mu =0,1,2,3$)들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {Mat} (4;\mathbb {C} )$를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 $\sigma ^{1},\sigma ^{2},\sigma ^{3}$들은 $\{\sigma ^{i},\sigma ^{j}\}=2\delta ^{ij}\sigma ^{i}$를 만족시키며, 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (3,0;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Mat} (2;\mathbb {C} )$를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.

역사

영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회(영어: London Mathematical Society)에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉(영어: On the classification of geometric algebras)라는 제목의 강의를 하였으며, 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.

클리퍼드 군은 루돌프 립시츠가 도입하였다.^:§17.2

알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌(독일어: Karl Theodor Vahlen)이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 발레리안 알포르스(스웨덴어: Lars Valerian Ahlfors)가 재발견하였다.

1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로(영어: Arnold Samuel Shapiro)는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.

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