코시의 적분정리

코시의 적분정리(Cauchy's integral theorem)은 복소선적분에서의 중요한 정리 중 하나이다. 복소함수의 선적분은 양 끝점에만 좌우되는 것이 아니라, 경로 자체의 선택에도 의존한다. 만약 복소함수가 영역 D에서 해석적이고 D가 단순 연결 되었다면, 주어진 점들 사이의 경로선택에 의존하지 않는다. 이로써 복소선적분의 경로의존성으로부터 벗어날 수 있다.

설명

$f\left( z \right)$가 단순연결영역 D에서 해석적이면, D에 있는 모든 단순 닫힌 곡선 $C$에 대하여

$\oint\limits_{C}{f\left( z \right)}dz=0$

이다.

코시의 적분공식

설명

단순연결영역 $D$의 에서 해석적인 함수 $f(z)$와 점 $z_{0}$ 와 이를 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 $C$ 에 대해 $\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if\left(z_{0} \right)$ 이라는 정리이다. 이는 $\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z \right)}{z-z_{0}}}dz=f\left(z_{0} \right)$ 이라고 표현하기도 한다.

증명

$f(z)$ 는 $z=z_{0}$ 에서 연속이므로 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $|f(z)-f(z_{0})|<\epsilon$ 이면 $|z-z_{0}|<\delta$ 을 만족하는 $\delta>0$ 가 존재한다.

이제 $0<r<\delta$ 인 r에 대해 반시계방향 원 $C_{0}:|z-z_{0}|=r$ 이 $C$ 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해

$\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz$ 이다.

양변을

$f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz$ 로 빼면

$\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz$ 이고

$\oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=2\pi i$ 이므로 $\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz$ 이다.

또

$\left|\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz\right|<\frac{\epsilon}{r}2\pi r=2\pi \epsilon$ 이다.

$\epsilon>0$ 이므로

$\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=0$

일반화

코시 적분공식의 일반화는 다음과 같다.

$\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)} (z_{0})$ (여기에서 $f^{(n)}$ 은 f의 n계도함수)

다음을 이용하면 임의의 함수가 $z_0$ 에서 해석적이면 그 n계도함수도 $z_0$ 에서 해석적임을 증명할 수 있다. 이는 어떤 복소함수가 미분 가능하면 무한번 미분가능함을 알려주고 이는 복소함수의 중요한 성질이다.

예

$f(z)=e^z$ 를 미분하면 $\frac{df(z)}{dz}=e^z$ 가 되고 모든 점에서 해석적이므로 $z=0$ 을 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 C에 대해서

$\oint\limits_{C}{\frac{e^z}{z}}dz=2\pi i e^0=2\pi i$

이다.