코시의 적분정리

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코시의 적분정리(Cauchy's integral theorem)은 복소선적분에서 중요한 정리 중 하나이다. 복소함수의 선적분은 양 끝점에만 좌우되는 것이 아니라, 경로 자체의 선택에도 의존한다. 만약 복소함수가 영역 D에서 해석적이고 D가 단순 연결 되었다면, 주어진 점들 사이의 경로선택에 의존하지 않는다. 이로써 복소선적분의 경로의존성으로부터 벗어날 수 있다.

설명[편집]

f\left( z \right)가 단순연결영역 D에서 해석적이면, D에 있는 모든 단순 닫힌 곡선 C에 대하여

\oint\limits_{C}{f\left( z \right)}dz=0

이다.

코시의 적분공식[편집]

설명[편집]

단순연결영역 D의 에서 해석적인 함수 f(z)와 점 z_{0} 와 이를 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 C 에 대해 \oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if\left(z_{0} \right) 이라는 정리이다. 이는 \frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z \right)}{z-z_{0}}}dz=f\left(z_{0} \right) 이라고 표현하기도 한다.

증명[편집]

f(z)z=z_{0} 에서 연속이므로 임의의 \epsilon>0에 대하여 |f(z)-f(z_{0})|<\epsilon 이면 |z-z_{0}|<\delta 을 만족하는 \delta>0 가 존재한다.

이제 0<r<\delta 인 r에 대해 반시계방향 원 C_{0}:|z-z_{0}|=rC 에 포함되도록 작게 그린다. 그러면 코시의 적분정리에 의해

\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz 이다.

양변을

f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz 로 빼면
\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-f(z_{0}) \oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz 이고
\oint\limits_{C_{0}}{\frac{1}{z-z_{0}}}dz=2\pi i 이므로 \oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz 이다.

\left|\oint\limits_{C_{0}}{\frac{f\left(z\right)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}}}dz\right|<\frac{\epsilon}{r}2\pi r=2\pi \epsilon 이다.
\epsilon>0 이므로
\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{z-z_{0}}}dz-2\pi i f(z_{0})=0

일반화[편집]

코시 적분공식의 일반화는 다음과 같다.

\oint\limits_{C}{\frac{f\left(z\right)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)} (z_{0}) (여기에서 f^{(n)} 은 f의 n계도함수)

다음을 이용하면 임의의 함수가 z_0 에서 해석적이면 그 n계도함수도 z_0 에서 해석적임을 증명할 수 있다. 이는 어떤 복소함수가 미분 가능하면 무한번 미분가능함을 알려주고 이는 복소함수의 중요한 성질이다.

[편집]

f(z)=e^z 를 미분하면 \frac{df(z)}{dz}=e^z 가 되고 모든 점에서 해석적이므로  z=0 을 둘러싸고 있는 닫힌 곡선 C에 대해서

\oint\limits_{C}{\frac{e^z}{z}}dz=2\pi i e^0=2\pi i

이다.