이 문서는
결합 법칙 을 만족시키는 일반적인
대수 에 관한 것입니다.
순서론 과
조합론 에서, 근접 관계(
영어 : incidence )를 추상화한 대수적 구조에 대해서는
근접 대수 문서를 참고하십시오.
추상대수학 에서 결합 대수 (結合代數, 영어 : associative algebra )는 결합 법칙 을 만족시키는 대수 이다. 즉, 가군 과 유사환 의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조 이다. 가군 이 아벨 군 을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 환 을 일반화한다.
가환 유사환
R
{\displaystyle R}
유사 결합 대수 (영어 : (possibly) non-unital associative algebra )
(
M
,
0
,
+
,
{
r
⋅
}
r
∈
R
,
∗
)
{\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)}
대수 구조 이다.
(
M
,
0
,
+
,
{
r
⋅
}
r
∈
R
)
{\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R})}
R
{\displaystyle R}
가군 을 이룬다.
(
M
,
0
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (M,0,+,*)}
유사환 을 이룬다.이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.
모든
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
m
,
n
∈
M
{\displaystyle m,n\in M}
r
⋅
(
m
∗
n
)
=
(
r
⋅
m
)
∗
n
=
m
∗
(
r
⋅
n
)
{\displaystyle r\cdot (m*n)=(r\cdot m)*n=m*(r\cdot n)}
이는 유사환의 준동형
R
→
Z
(
M
)
{\displaystyle R\to Z(M)}
Z
(
M
)
=
{
z
∈
M
:
m
∗
z
=
z
∗
m
}
{\displaystyle Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}}
M
{\displaystyle M}
중심 이다.
유사 결합 대수의 준동형
(
0
,
+
,
{
r
⋅
}
r
∈
R
,
∗
)
{\displaystyle (0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)}
R
-nuAssoc
{\displaystyle R{\text{-nuAssoc}}}
가환환
R
{\displaystyle R}
(단위) 결합 대수 (單位結合代數, 영어 : (unital) associative algebra )
(
M
,
0
,
+
,
{
r
⋅
}
r
∈
R
,
∗
,
1
)
{\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*,1)}
대수 구조 이다.
(
M
,
0
,
+
,
{
r
⋅
}
r
∈
R
,
∗
)
{\displaystyle (M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)}
R
{\displaystyle R}
(
M
,
0
,
1
,
+
,
∗
)
{\displaystyle (M,0,1,+,*)}
환 을 이룬다.이는 환 준동형
R
→
Z
(
M
)
{\displaystyle R\to Z(M)}
Z
(
M
)
=
{
z
∈
M
:
m
∗
z
=
z
∗
m
}
{\displaystyle Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}}
M
{\displaystyle M}
중심 이다.
결합 대수의 준동형
(
0
,
1
,
+
,
{
r
⋅
}
r
∈
R
,
∗
)
{\displaystyle (0,1,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)}
환 준동형 을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를
R
-Assoc
{\displaystyle R{\text{-Assoc}}}
가환환
R
{\displaystyle R}
가환환 인 것을 가환 대수 (영어 : commutative algebra )라고 한다.
R
{\displaystyle R}
M
{\displaystyle M}
R
→
M
{\displaystyle R\to M}
결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체 를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상 의 존재를 알 수 있다.
구조
유사 결합 대수
결합 대수
시작 대상
영가군
R
{\displaystyle R}
끝 대상
영가군
영가군
곱
유사환으로서의 곱
(유사)환으로서의 곱
쌍대곱
결합 대수의 자유곱
단위 결합 대수의 자유곱
즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상 을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상 과 끝 대상 이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합 과 호환되지만, 쌍대곱 은 서로 다르다.
또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 텐서곱
⊗
R
{\displaystyle \otimes _{R}}
R
{\displaystyle R}
가군 의 텐서곱 과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주 를 이룬다.
유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자
R
-nuAssoc
→
Rng
{\displaystyle R{\text{-nuAssoc}}\to \operatorname {Rng} }
및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자
R
-Assoc
→
Ring
{\displaystyle R{\text{-Assoc}}\to \operatorname {Ring} }
가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자 는
S
↦
R
⊗
Z
S
{\displaystyle S\mapsto R\otimes _{\mathbb {Z} }S}
또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자
R
-Assoc
→
R
-nuAssoc
{\displaystyle R{\text{-Assoc}}\to R{\text{-nuAssoc}}}
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자 는
단위원이 없는 유사 결합 대수
A
{\displaystyle A}
A
↦
R
⊕
A
{\displaystyle A\mapsto R\oplus A}
로 대응시킨다 (
⊕
{\displaystyle \oplus }
아벨 군 의 직합 ). 이 경우,
R
⊕
A
{\displaystyle R\oplus A}
s
⋅
(
r
,
a
)
=
(
s
r
,
s
⋅
a
)
{\displaystyle s\cdot (r,a)=(sr,s\cdot a)}
(
r
,
a
)
∗
(
s
,
b
)
=
(
r
s
,
s
⋅
a
,
r
⋅
b
,
a
∗
b
)
{\displaystyle (r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)}
복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.[ 1]
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
[
x
]
/
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2}-1)}
C
[
x
]
/
(
x
2
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}
둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학 적으로 해석할 수 있다. 대수기하학 적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점
±
1
{\displaystyle \pm 1}
축소환 이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수 이다.
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
[
x
,
y
]
/
(
x
2
−
x
,
y
2
−
y
,
x
y
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2}-y,xy)}
C
[
x
,
y
]
/
(
x
2
−
x
,
y
2
,
x
y
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2},xy)}
C
[
x
,
y
]
/
(
x
2
,
y
2
,
x
y
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2},y^{2},xy)}
C
[
x
]
/
(
x
4
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{4})}
C
⟨
x
,
y
⟩
/
(
x
2
−
1
,
y
2
,
(
x
−
1
)
y
,
y
(
x
−
1
)
)
{\displaystyle \mathbb {C} \langle x,y\rangle /\left(x^{2}-1,y^{2},(x-1)y,y(x-1)\right)}
이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.
특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.
가환환
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
유사환 환
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
표수 가
n
{\displaystyle n}
n
s
=
0
∀
s
{\displaystyle ns=0\forall s}
표수 가
n
{\displaystyle n}
모든 환
S
{\displaystyle S}
중심
Z
(
S
)
{
r
∈
S
:
r
s
=
s
r
∀
s
∈
S
}
{\displaystyle Z(S)\{r\in S\colon rs=sr\forall s\in S\}}
가환환
R
{\displaystyle R}
환 준동형
R
→
Z
(
S
)
{\displaystyle R\to Z(S)}
S
{\displaystyle S}
R
{\displaystyle R}
R
→
S
{\displaystyle R\to S}
S
{\displaystyle S}
R
{\displaystyle R}
리 대수 의 보편 포락 대수 는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수 나 외대수 는 결합 대수이다.
복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
사원수 대수
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
a
+
b
i
⊆
{
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
}
{\displaystyle a+bi\subseteq \{a+bi+cj+dk\}}
R
{\displaystyle R}
위상환 이라고 하자. 위상 공간
X
{\displaystyle X}
C
(
X
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(X;R)}
R
{\displaystyle R}
r
⋅
f
:
x
↦
r
⋅
f
(
x
)
{\displaystyle r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)}
f
∗
g
:
x
↦
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)}
0
:
x
↦
0
R
{\displaystyle 0\colon x\mapsto 0_{R}}
1
:
x
↦
1
R
{\displaystyle 1\colon x\mapsto 1_{R}}
마찬가지로, 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 함수 의 집합
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
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![{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e48739408723cd87bd4ed0f941b7e480ca1e32)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead4d9d2551c77ad52143ce198f4f81acb750d96)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2}-y,xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cf376dc7a985ad334f1c952f603be20bf2f90e)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2},xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a79983e9c5e54e981628f8165548d2a340236a8)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(x^{2},y^{2},xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a654a1e94a80cc8d49af288338f877c2cd4cc2)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8cf3fabda12952f524c21a3dc961da941879d5)
