직교 여원 격자

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순서론에서, 직교 여원 격자(直交餘元格子, 영어: orthocomplemented lattice, ortholattice)는 불 대수와 유사한 여원 연산을 갖는 유계 격자이다. 그러나 불 대수와 달리 분배 격자일 필요가 없으며, 심지어 모듈러 격자도 아닐 수 있다.

정의[편집]

순서 반대 보존성의 동치 조건[편집]

유계 격자 위의 함수 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • (순서 반대 보존) 임의의 에 대하여, 라면
  • (드 모르간 법칙 1) 임의의 에 대하여,
  • (드 모르간 법칙 2) 임의의 에 대하여,

증명:

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 1: 임의의 에 대하여,

이므로

이다. 따라서, 상한의 정의에 따라

이다.

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 2: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

드 모르간 법칙 1 ⇒ 순서 반대 보존: 임의의 에 대하여, 라고 하자. 그렇다면,

이므로

이다. 따라서

이다.

드 모르간 법칙 2 ⇒ 순서 반대 보존: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

직교 여원 격자[편집]

유계 격자 위의 직교 여원(直交餘元, 영어: orthocomplementation) 은 다음 네 조건들을 만족시키는 함수이다.[1]:52, §II.14[2]:§2

  • (대합) 임의의 에 대하여,
  • (순서 반대 보존) 임의의 에 대하여, 라면
  • (배중률) 임의의 에 대하여,
  • (비모순율) 임의의 에 대하여,

직교 여원 격자(영어: orthocomplemented lattice)는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 직교 여원 격자 사상(영어: orthocomplemented lattice morphism) 은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

  • 격자 사상이다. 즉, 임의의 에 대하여 이며, 이다.
  • 임의의 에 대하여 이다.

이 경우, 임의의 에 대하여

이므로 이는 자동적으로 유계 격자 사상이 된다.

가환성[편집]

직교 여원 격자 에서, 두 원소 가 다음 조건을 만족시키면 가환한다(영어: commute)고 한다.[1]:52, §II.14[2]:§2

이는 로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 대칭 관계가 아니다. 즉, 이라면일 필요는 없다.

직교 여원 격자 의 두 원소 에 대하여, 라면 이다.[1]:52, Lemma II.14.1

직교모듈러 격자[편집]

육각형 격자의 하세 도형

직교 여원 격자 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 직교모듈러 격자(영어: orthomodular lattice)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 이라면 이다 (즉, 이다).[2]:§2[1]:53, Theorem II.21
  • 임의의 에 대하여, 이다.[2]:§2
  • 가환 관계는 대칭 관계이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이라면 이다.[2]:Proposition 2.2(2)[1]:53, Theorem II.21
  • 임의의 에 대하여, 이라면 이다.[2]:Proposition 2.2(3)
  • 임의의 에 대하여, 이자 이라면 이다.[2]:Proposition 2.1(2)[1]:54, Exercise II.14.7(i)
  • 임의의 에 대하여, 라면 이다.[1]:54, Exercise II.14.7(ii)
  • 육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.[2]:Proposition 2.1(3)

여기서 육각형 격자(영어: hexagon lattice)는 다음과 같은 유계 격자이다.

성질[편집]

함의 관계[편집]

모든 불 대수는 직교 여원 격자이다.

직교여원 격자가 분배 격자일 필요는 없다.

직교 여원 격자 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 불 대수이다.
  • 분배 격자이다.
  • 임의의 원소 에 대하여, 이며 가 유일하게 존재한다. (이는 물론 이다.)
  • (엘칸 법칙 영어: Elkan’s law) 임의의 에 대하여, [3]

모든 모듈러 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만,[1]:54, Exercise II.14.6 (이름과 달리) 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유일성[편집]

주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, 분배 격자 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.

증명:

분배 격자 의 원소 에 대하여

라고 하자. 그렇다면

이다. 따라서

이다. 마찬가지로 임을 보일 수 있으며, 따라서 이다.

직교 여원을 갖는 분배 격자를 불 대수라고 한다.

범주론적 성질[편집]

직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 구체적 범주 대수 구조 다양체의 범주이므로 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 자유 대상이 존재한다.

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양자 논리[편집]

힐베르트 공간 의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 대하여 유계 격자를 이룬다. 이 경우, 직교여원

을 정의하면, 이는 직교모듈러 격자를 이룬다. "직교 여원"이라는 용어는 이에서 비롯하였다. 이 사실은 양자 논리에서 중요한 역할을 한다.

대합환[편집]

대합환이라고 하자. 그렇다면,

로 놓으면, 은 직교모듈러 격자를 이룬다.[1]:54, Exercise II.14.11(a,b) 또한, 이 경우

이다.[1]:54, Exercise II.14.11(c) 즉, 환으로서의 가환성 개념이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념과 일치한다.

참고 문헌[편집]

  1. Birkhoff, Garrett (1967). 《Lattice theory》. AMS Colloquium Publications (영어) 25 3판. American Mathematical Society. 
  2. Bruns, Gunter; Harding, John (2000). 〈Algebraic aspects of orthomodular lattices〉 (PDF). Coecke, Bob; Moore, David; Wilce, Alexander. 《Current research in operational quantum logic: algebras, categories, languages》. Fundamental Theories of Physics (영어) 111. Springer-Verlag. 37–65쪽. doi:10.1007/978-94-017-1201-9_2. ISSN 0168-1222. 
  3. 近藤 溢血 (こんどう みちろう) (2006). “On orthocomplemented lattices with Elkan’s law” (PDF). 《数理解析研究所講究録》 (영어) 1503: 10–16.  |저자=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말)

외부 링크[편집]