연결공간

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A는 R²의 연결 부분공간이며, B는 비연결 부분공간이다.

수학위상수학 등의 분야에서, 연결공간(連結空間, 영어: connected space) 혹은 연결된 공간공집합이 아닌 두 열린 집합서로소 합집합(disjoint union)으로 나타낼 수 없는 위상공간이다. 연결성은 위상공간들을 구분하기 위해 쓰이는 가장 중요한 위상적 성질 중 하나이다. 임의의 두 점을 로 연결할 수 있는 공간을 호상연결공간이라고 하는데, 이는 연결공간보다 강한 조건이다.

정의[편집]

특정한 위상공간을 공집합이 아닌 두 열린 서로소 집합의 합집합으로 나타낼 수 있을 때 이를 비연결공간(disconnected space) 혹은 연결되지 않은 공간이라 하며, 비연결공간이 아닌 공간을 연결공간이라 한다. 위상공간의 부분집합이 부분공간 위상으로서 연결공간일 때 이를 연결 부분공간(혹은 연결 부분집합)이라 한다. 일부 저자는 공집합을 연결공간에서 제외하나, 이곳에서는 이를 따르지 않기로 한다.

위상공간 X에 대해, 다음 조건들은 서로 동치이다.

  1. X는 연결공간이다.
  2. X는 공집합이 아닌 두 닫힌 집합의 서로소 합집합으로 나타낼 수 없다. (이는 열린 집합의 여집합이 닫힌 집합과 일치하기 때문이다.)
  3. 열려 있고 동시에 닫혀 있는 부분집합(열닫 집합(clopen set))은 X와 공집합뿐이다.
  4. 경계가 공집합인 부분집합은 X와 공집합뿐이다.
  5. X는 공집합이 아닌 두 분리집합의 합집합으로 나타낼 수 없다.

집합의 포함관계에 대해 극대인 연결 부분집합을 위상공간의 연결성분(connected component)이라 한다. 연결성분들은 공간을 분할한다. (즉, 각 성분들은 서로소이며 전부를 합집합하면 공간 전체가 된다.) 각 연결성분은 공간의 닫힌 부분집합이지만, 꼭 열려 있을 필요는 없다. 예를 들어 유리수 집합의 연결성분들은 한점집합이다.

노상연결성[편집]

  • 주의: 아래에서 다루는 path-connected(노상연결)를 "호상연결"로 번역하는 경우도 있다. 여기에서는 "호상연결"을 arc-connected에 대한 번역어로 사용하므로 혼동하지 말아야 한다.
R2의 부분공간에 포함된 임의의 두 점을 길로 연결할 수 있으므로 이는 노상연결이다.

위상공간 X에 포함된 임의의 두 점 x와 y에 대해 [0,1]에서 X로의 연속함수 f가 존재해 f(0) = x, f(1) = y이면 X를 노상연결공간(路狀連結空間, 영어: path-connected space)이라 한다. 이와 같은 함수 f를 x에서 y로의 이라 한다.

임의의 노상연결공간은 연결공간이다. 그 역은 참이 아닌 경우도 있는데, 예를 들어 긴 직선 L*나 위상수학자의 사인 곡선은 연결이지만 노상연결은 아니다. 그러나 실직선 R의 부분집합의 경우 연결 조건과 노상연결 조건은 동치이다. 여기에서 연결(노상연결) 부분집합들은 R구간과 일치한다. 또한 Rn이나 Cn열린 부분집합의 경우에도 연결과 노상연결이 동치이다. 이는 임의의 유한 위상공간의 경우에 대해서도 마찬가지이다.

위상공간 X에 포함된 임의의 두 점을 잇는 호([0,1]에서 X로의 묻기)가 존재할 경우 이를 호상연결공간(弧狀連結空間, 영어: arc-connected space)이라 한다. 임의의 호상연결 하우스도르프 공간은 노상연결이다. 노상연결이지만 호상연결이 아닌 공간의 예로 음이 아닌 실수의 집합 [0,∞)의 좌측 끝에 또다른 끝점 0'을 추가한 것을 생각해 보자. 임의의 양의 실수 a에 대해 0' < a로 놓고, 0와 0'은 서로 비교될 수 없도록 하면 이는 부분순서집합이 되고, 여기에 순서위상을 주면 T1 공간이 되지만 하우스도르프는 아닌 공간이 된다. 여기에서 0과 0'은 길로는 연결할 수 있지만 호로는 연결되지 않는다.

함께 보기[편집]