푸앵카레 대칭

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푸앵카레 대칭(Poincaré對稱, Poincaré symmetry)은 민코프스키 공간의 대칭군이다. 공간 회전 3방향과 로런츠 변환 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방항으로 총 10차원의 리 군을 이룬다. 앙리 푸앵카레의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 "inhomogeneous special orthogonal group"의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 \mathbb R^4를 추가한 군이다.

정의[편집]

d 차원 푸앵카레 군은 병진 변환아벨 군 \mathbb R^d로런츠 군 SO(d-1,1)반직접곱이다. 즉,

\operatorname{ISO}(d-1,1)=\mathbb R^d\rtimes\operatorname{SO}(3,1)

이다. 이때 사용되는 작용은 \operatorname{SO}(d-1,1)의 행렬로서의 자연스런 작용이다. 즉, M\in\operatorname{SO}(d-1,1)v\in\mathbb R^d에 대한 작용

M\colon v\to Mv

이며, Mv행렬로서의 곱셈이다.

성질[편집]

d차원 민코프스키 공간에서의 푸앵카레 군의 차원은

\dim\operatorname{ISO}(1,d-1)=d+\frac{d(d-1)}2=d(d+1)/2

이다. 특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 리 군을 이룬다.

푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 (\Lambda^\mu_\nu,a^\mu)사차원 벡터 x^\mu에 다음과 같이 작용한다.

x^\mu \mapsto x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu .

여기서 \Lambda^\mu_\nu는 임의의 로런츠 변환이고, a^\mu는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 푸앵카레 대칭성을 지닌다고 한다.

푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적

x^\mu x_\mu = x^\mu x^\nu \eta_{\mu \nu} = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2

을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(Euclidean group, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 변환 가운데 a^\mu=0인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군로런츠 군(Lorentz group, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 로런츠 대칭성(Lorentz symmetry)이라고 한다.

앞의 변환 x^\mu \to x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu 의 연산자를 (\Lambda,a)라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.

  • (\Lambda,a)(M,b) = (\Lambda M, \Lambda b + a)
  • (\Lambda,a)^{-1} = (\Lambda^{-1}, -\Lambda^{-1}a)
  • [(\Lambda,a)(M,b)](N,c) = (\Lambda,a)[(M,b)(N,c)]

푸앵카레 군의 군 표현론위그너 분류라고 불린다.

역사[편집]

헤르만 민코프스키가 1908년에 도입하였다.[1][2] 앙리 푸앵카레는 사실 푸앵카레 군에 대해 논하지 않았으나, 푸앵카레는 1905년에 로런츠 군을 이룬다는 사실을 보였고,[3] 푸앵카레의 이름을 따 명명되었다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Minkowski, Hermann (1908년). Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. 《Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse》: 53–111. JFM 39.0909.02.
  2. (독일어) Minkowski, Hermann (1909년). Raum und Zeit. 《Physikalische Zeitschrift》 10: 75–88.
  3. (프랑스어) Poincaré, Henri (1906년). Sur la dynamique de l’électron. 《Rendiconti del Circolo matematico di Palermo》 21: 129–176. JFM 37.0886.01.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Poincaré group. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).