푸앵카레 대칭

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푸앵카레 대칭성(Poincaré symmetry)은 민코프스키 공간의 대칭군이다. 공간 회전 3방향과 로런츠 변환 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방항으로 총 10차원의 리 군을 이룬다. 앙리 푸앵카레의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 "inhomogeneous special orthogonal group"의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 $\mathbb R^4$를 추가한 군이다.

정의

푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 $(\Lambda^\mu_\nu,a^\mu)$은 사차원 벡터 $x^\mu$에 다음과 같이 작용한다.

$x^\mu \mapsto x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu$.

여기서 $\Lambda^\mu_\nu$는 임의의 로런츠 변환이고, $a^\mu$는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 푸앵카레 대칭성을 지닌다고 한다.

푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적

$x^\mu x_\mu = x^\mu x^\nu \eta_{\mu \nu} = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2$

을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(Euclidean group, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 변환 가운데 $a^\mu=0$인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군을 로런츠 군(Lorentz group, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 로런츠 대칭성(Lorentz symmetry)이라고 한다.

성질

푸앵카레 변환은 리 군을 이룬다. 앞의 변환 $x^\mu \to x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu$의 연산자를 $(\Lambda,a)$라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.

• $(\Lambda,a)(M,b) = (\Lambda M, \Lambda b + a)$
• $(\Lambda,a)^{-1} = (\Lambda^{-1}, -\Lambda^{-1}a)$
• $[(\Lambda,a)(M,b)](N,c) = (\Lambda,a)[(M,b)(N,c)]$