몫의 규칙

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미적분학
v  d  e  h

미적분학에서 몫의 규칙은 분수 함수의 미분을 위한 공식이다.

미분해야 하는 함수 f(x) 가 다음과 같다면:

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

(그리고 h(x)0 이라면) 몫의 규칙은 f(x) 의 미분을 이렇게 정의한다:

\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.

보다 더 정확하게 정의한다면, a 를 포함하는 모든 열린 집합에서의 xh(a)0 이 성립하고 h'(a)f'(a) 은 존재한다.

f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}

[편집]

  • \frac{(4x - 2)}{(x^2 + 1)} 의 미분은:
\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1} =\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}
=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}

위의 예제에서는

g(x) = 4x - 2
h(x) = x^2 + 1

로 지정했다.

  • \sin(x)/x^2 의 미분 (x ≠ 0 일 때):

\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}

또다른 예로 :  f(x) = \frac{2x^2}{x^3} 를 미분할 경우에: g(x) = 2x^2 and h(x) = x^3, and g'(x) = 4x and h'(x) = 3x^2 라는 것을 볼 수 있고, 따라서:

f'(x)\, =\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}
=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}
=\frac{-2x^4}{x^6}
=-\frac{2}{x^2}

증명[편집]

뉴턴의 차분몫의 응용[편집]

만약 f(x) = \frac {g(x)} {h(x)} 이며
h(x) \ne 0이 성립하고 gh 는 미분 가능한 함수라면:

\begin{align}
f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)} \\
&= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))} \\
&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
\end{align}

곱셈 법칙의 응용[편집]

만약 f(x) = \frac {g(x)} {h(x)} 라면

g(x)=f(x)h(x)
g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)

나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 f'(x) 를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, f(x) 는 식 오른쪽에서 없애야 한다.


\begin{align}
f'(x) &=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} \\
&= \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)} \\
&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}
\end{align}

같이 보기[편집]