몫의 규칙

미적분학에서 몫의 규칙은 분수 함수의 미분을 위한 공식이다.

미분해야 하는 함수 $f(x)$ 가 다음과 같다면:

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

(그리고 $h(x)$ ≠ $0$ 이라면) 몫의 규칙은 $f(x)$ 의 미분을 이렇게 정의한다:

$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.$

보다 더 정확하게 정의한다면, $a$ 를 포함하는 모든 열린 집합에서의 $x$ 는 $h(a)$ ≠ $0$ 이 성립하고 $h'(a)$ 와 $f'(a)$ 은 존재한다.

$f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}$

예

• $\frac{(4x - 2)}{(x^2 + 1)}$ 의 미분은:

$\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$	$=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

위의 예제에서는

$g(x) = 4x - 2$

$h(x) = x^2 + 1$

로 지정했다.

• $\sin(x)/x^2$ 의 미분 ($x$ ≠ 0 일 때):

$\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}$

또다른 예로 : $f(x) = \frac{2x^2}{x^3}$ 를 미분할 경우에: $g(x) = 2x^2$ and $h(x) = x^3$, and $g'(x) = 4x$ and $h'(x) = 3x^2$ 라는 것을 볼 수 있고, 따라서:

$f'(x)\,$	$=\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}$
	$=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}$
	$=\frac{-2x^4}{x^6}$
	$=-\frac{2}{x^2}$

증명

뉴턴의 차분몫의 응용

만약 $f(x) = \frac {g(x)} {h(x)}$ 이며

$h(x) \ne 0$이 성립하고 $g$ 와 $h$ 는 미분 가능한 함수라면:

$\begin{align} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)} \\ &= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))} \\ &= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \end{align}$

곱셈 법칙의 응용

만약 $f(x) = \frac {g(x)} {h(x)}$ 라면

$g(x)=f(x)h(x)$

$g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)$

나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 $f'(x)$ 를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, $f(x)$ 는 식 오른쪽에서 없애야 한다.

$\begin{align} f'(x) &=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} \\ &= \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)} \\ &= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2} \end{align}$

같이 보기

• 곱셈법칙
• 연쇄법칙
• 뉴턴의 차분몫