체르멜로-프렌켈 집합론

선택공리를 추가한 체르멜로-프렌켈 집합론(영어: Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, 줄여서 ZFC)은 공리적 집합론의 대표적인 형태이며, 현대 수학의 기초를 이루는 체계로서 가장 널리 사용되고 있다.

개론 [편집]

ZFC는 집합이라는 하나의 개념과, 집합의 포함관계라는 하나의 이항관계 및 그들이 만족하는 공리들로 이루어져 있다. ZFC에서 논의영역에 존재하는 모든 개체(즉, 모든 수학적 대상)는 집합이며, 집합 a가 집합 b의 원소라는 것은 기호로 a $\in$ b로 나타낸다. ZFC는 1차 논리를 기반으로 하는 1차 이론이다.

1908년, 에른스트 체르멜로(독일어: Ernst Zermelo)는 최초의 공리적 집합론인 체르멜로 집합론을 발표했다. 그러나 이 체계는 서수를 구성하기에 부족하다는 큰 단점이 있었다. 비록 서수가 없이도 "보통 수학"을 하는 데에는 대체로 큰 문제가 없긴 하지만, 서수는 집합론의 연구에 있어서 극히 중요한 도구였다. 또한, 체르멜로의 공리들 중에 하나에는 "명확한"(definite)이라는 표현이 포함되어 있었는데, 그 조작적 의미가 불분명하다는 것 또한 하나의 문제였다. 1922년, 아브라함 프렌켈 (독일어: Abraham Fraenkel)과 토랄프 스콜렘 (Thoralf Skolem)은 "명확한 성질"이라는 것을 1차 논리에서 구성될 수 있는 임의의 성질로 정의할 것을 제안했다. 이들의 연구에 따라 체르멜로의 공리체계를 수정하고 정칙성 공리와 치환공리꼴을 추가한 것을 체르멜로와 프란켈의 이름 첫글자를 따 ZF라고 한다.

ZF에 선택공리를 추가한 것을 ZFC라고 한다. 수학적 정리 등을 증명할 때 선택공리가 필요한 경우 이 사실은 대체로 명확하게 명시된다. 그 이유는, 선택공리가 비구성적이기 때문이다. 선택공리는 특정한 집합(선택집합)을 어떻게 구성할지를 밝히지 않은 채 그 집합의 존재를 주장하는 공리이다. 따라서 구성주의적 존재론을 주장하는 이들은 선택공리를 받아들이지 않는다.

ZFC는 공리꼴을 포함하고 있으므로, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몽타그 (Richard Montague)는 1961년에 ZFC도 ZF도 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 그 반면, 폰 노이만-베르나이-괴델 집합론 (Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, NBG)는 유한개의 공리로도 충분하다. NBG는 집합 뿐만 아니라 모임까지도 '존재하는 대상'으로 포함시키고 있다. NBG과 ZFC 중 한 쪽에서 증명된 집합에 대한 정리(즉, 모임을 언급하지 않는 정리)는 다른 한 쪽에서도 증명될 수 있으며, 이런 의미에서 둘은 집합론으로서 서로 동치이다.

공리 [편집]

1) 확장공리(Axiom of extensionality): 포함하는 원소가 전부 같은 두 집합은 서로 동일하다.

$\forall x \forall y ( \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y)$

2) 정칙성 공리(Axiom of regularity) 혹은 기초의 공리(Axiom of foundation): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다.

$\forall x [ \exists y ( y \in x) \Rightarrow \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]$

3) 분류공리꼴(Axiom schema of specification), 분리공리꼴(Axiom schema of separation) 혹은 제한된 내포공리꼴(Axiom schema of restricted comprehension): z가 집합이고 $\phi\!$ 가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때, 이를 만족하는 것들로 이루어진 z의 부분집합이 존재한다. 여기에서 원소의 범위를 집합 z로 제한하는 것은 러셀의 역설 및 그 변형 등을 피하기 위함이다. 형식적으로 서술하면, $x,z,w_1,\ldots,w_n\!$ 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 $\phi\!$ 에 대해 다음이 성립한다:

$\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \Leftrightarrow ( x \in z \land \phi ) )$

4) 짝의 공리(Axiom of pairing): 임의의 두 집합에 대해, 둘 모두를 원소로서 포함하는 집합이 존재한다.

$\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)$

5) 합집합 공리(Axiom of union): 임의의 집합에 대해, 거기에 포함되는 원소들에 포함되는 원소들을 전부 포함하는 집합이 존재한다.

$\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal{F} \Rightarrow x \in A)$

6) 치환공리꼴(Axiom schema of replacement): 집합을 정의역으로 갖는, 형식적으로 정의된 임의의 함수 f에 대해, 그 치역을 포함하는 집합이 존재한다. 보다 엄밀하게 서술하면, $x,y,A,w_1,\ldots,w_n \!$ 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 $\phi\!$ 에 대해 다음이 성립한다:

$\forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n [ ( \forall x \in A \exists ! y \phi ) \Rightarrow \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi].$

여기에서 한정기호 $\exists ! y$ 는 그 뒤의 조건을 만족하는 $y\!$ 가 유일하게 존재함을 말한다.

다음 공리는 기호 $S(x) = x \cup \{x\} \!$ 를 사용한다. 공리 1부터 6 까지를 이용해 임의의 집합 $x\!$ 에 대해 $S(x)\!$ 가 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 또한, 위의 공리들을 이용해 만약 집합이 하나라도 존재한다면 공집합 $\varnothing$ 도 유일하게 존재함을 증명할 수 있다.