양상 논리

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논리학에서, 양상 논리(樣相論理, 영어: modal logic)는 명제의 필연성·가능성·불가능성을 서술할 수 있는 논리 체계이다.

정의[편집]

통사론[편집]

양상 논리는 일반 명제 논리의 기호 (\land, \lor, \lnot, \implies 등) 이외에도 다음과 같은 두 기호를 갖는다.

\Box
\Diamond

이들 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

\lnot\Box\lnot=\Diamond
\lnot\Diamond\lnot=\Box

이 두 기호는 여러 가지로 해석할 수 있으나, 보통 다음과 같이 해석한다.

  • \Box P: 명제 P는 필연적으로 참이다. 즉, P는 모든 가능한 세계에서 참이다.
  • \Diamond P: 명제 P는 개연적으로 참이다. 즉, P가 참인 세계가 존재한다.

이 밖에도, 다르게 해석할 수도 있다. 예를 들어, \Box P를 다음과 같이 해석할 수 있다.

  • 증명성 논리(영어: provability logic)
    • \Box P: 명제 P는 증명할 수 있다.
    • \Diamond P: 명제 P는 반증할 수 없다.
  • 인식론적 논리 영어: epistemic logic):
    • \Box P: 명제 P가 참인 것을 안다.
    • \Diamond P: 명제 P가 거짓인 것을 알지 못한다.
  • 의무적 논리 영어: deontological logic):
    • \Box P: 명제 P를 만족시킬 의무가 있다.
    • \Diamond P: 명제 P를 만족시키는 것이 허용된다.

공리계[편집]

양상 논리는 명제 논리의 공리 및 전건 긍정의 형식을 가진다. 이 밖에도, 양상 논리 고유의 다음과 같은 공리들이 있다. 우선, 가장 기본적인 양상 논리 K는 명제 논리에 다음과 같은 두 공리를 추가하여 얻는다.

P\vdash\Box P
\Box (P\implies Q)\implies(\Box P\implies\Box Q)

이 밖에도, 다음과 같은 공리들을 생각할 수 있다.

(T공리) \Box P\implies P
간혹 M공리로 불리기도 함
(4번 공리) \Box P\implies\Box\Box P
(5번 공리) \Diamond P\implies\Box\Diamond P
(B공리) P\implies\Box\Diamond P
라위트전 브라우어르(네덜란드어: Brouwer)의 성의 머릿글자.
(D공리) \Box P\implies\Diamond P
주로 의무적 논리에서 쓰임. 영어: deontology 의무론[*]의 머릿글자.
(GL공리) \Box(\Box P\implies P)\implies\Box P
간혹 L공리로 불리기도 함. 괴델-뢰브 영어: Gödel–Löb)의 약자.

K에 이 공리들 가운데 일부를 추가하면 다음과 같은 양상 논리들을 얻는다.

T = K + T공리
K4 = K + 4번 공리
S4 = K + T공리 + 4번 공리
S5 = K + T공리 + 5번 공리 = S4 + 5번 공리 = S4 + B공리
D = K + D공리
D45 = K + D공리 + 4번 공리 + 5번 공리
GL = K + GL공리

다음을 보일 수 있다. 여기서는 모두 적어도 K를 가정한다.

GL ⊢ 4, ¬T
S5 ⊢ 4, D
S4 + D ⊢ 5
즉, S4 + D = S5이다.

의미론[편집]

양상 논리에서 가장 많이 쓰이는 의미론은 크립키 모형(영어: Kripke model)이다. 이를 통해, 각종 양상 논리들의 모형을 정의할 수 있다.

S4의 경우, 위상공간으로서 의미론을 정의할 수 있다. 이 경우, 대응성은 다음과 같다.

S4 양상 논리 위상수학
명제 \phi,\chi 위상공간의 부분집합 S,T\subset X
논리합 \phi\lor\chi 합집합 S\cup T
논리곱 \phi\lor\chi 교집합 S\cap T
함의 \phi\to\chi (X\setminus S)\cup T
부정 \lnot\phi X\setminus S
\Box\phi 내부 \operatorname{int}(S)
\Diamond\phi 폐포 \operatorname{cl}(S)

이 경우, S4의 공리들은 내부와 폐포의 성질로 해석할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  • (한국어) 여훈근 (2000년 6월 17일). 《논리철학》, 인문사회과학총서 40. 고려대학교 출판부. ISBN 89-7641-409-8
  • (한국어) 김우진 (2012년). 《양상논리와 형이상학》, 2판, 새들녘. ISBN 978-899624152-2
  • (한국어) 신승철 (2004년 2월). 양상 논리의 이해. 《프로그래밍언어논문지》 18 (1): R01. ISSN 1975-5961.
  • (영어) Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke, Yde Venema (2001년 7월). 《Modal logic》, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science 53. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107050884. Zbl 0988.03006. ISBN 978-052180200-0
  • (영어) Chagrov, Aleksandr, Michael Zakharyaschev (1997년). 《Modal logic》. Oxford University Press. ISBN 0-19-853779-4
  • (영어) Chellas, B. F. (1980년). 《Modal logic: an introduction》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-22476-4
  • (영어) Fitting, Melvin, R. L. Mendelsohn (1998년). 《First Order Modal Logic》. Kluwer. ISBN 0-7923-5335-8
  • (영어) Garson, James W. (2013년). 《Modal logic for philosophers》, 2판, Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139342117. ISBN 978-110702955-2
  • (영어) Girle, Rod (2000년). 《Modal logics and philosophy》. Acumen. ISBN 0-7735-2139-9
  • (영어) Hughes, G. E., M. J. Cresswell (1996년). 《A new introduction to modal logic》. Routledge. ISBN 0-415-12599-5
  • Snyder, D. Paul "Modal Logic and its applications", Van Nostrand Reinhold Company, 1971
  • Kracht, Marcus (1999) Tools and Techniques in Modal Logic, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics No. 142. North Holland.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Modal logic. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).
  • (영어) Garson, James (2014년 5월 27일). Modal logic. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》.
  • (영어) Ballarin, Roberta (2010년 11월 16일). Modern origins of modal logic. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》.
  • (영어) Verbrugge, Rineke (2010년 11월 9일). Provability logic. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》.
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