이차 형식

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수론선형대수학에서, 이차 형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다.

정의[편집]

가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 Q는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 Q\colon V\to K이다.[1]:244[2]:54, (3.15)

  • (동차성) 임의의 a\in Kv\in V에 대하여, Q(av)=a^2Q(v)
  • (쌍선형성) 함수 B\colon V\times V\to K, (u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)를 정의하면, BV 위의 쌍선형 형식을 이룬다.

이 경우, BQ연관 쌍선형 형식(영어: associated bilinear form)이라고 한다.[2]:54 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 \operatorname{char}K=2라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.[2]:54

흔히 다루어지는 경우는 K이거나 대수적 정수환이며, V자유 가군인 경우다.

같은 가환환 K 위에 두 가군 V, V'이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 Q, Q'이 존재한다고 하자. QQ' 사이의 동치(영어: equivalence) i는 다음 조건을 만족시키는 함수 i\colon V\to V'이다.

  • i\colon V\to V'는 가군의 동형이다.
  • Q'\circ i=Q이다.

두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.

비퇴화 이차 형식[편집]

가환환 K 위의 가군 V 위의 이차 형식 QQ의 연관 겹선형 형식이 B라고 하자. Q등방성 벡터(等方性vector, 영어: isotropic vector)는 Q(v)=0인 원소 v\in V이다.[2]:58, §3.4.7 Q근기(영어: radical) \operatorname{rad}QB의 근기

\operatorname{rad}B=\{v\in V\colon\forall u\in V\colon B(u,v)=0\}

에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.[2]:58, §3.4.7

\operatorname{rad}Q=\{v\in\operatorname{rad}B\colon Q(v)=0\}

이는 V의 부분 가군이자 \operatorname{rad}B의 부분 가군이다. 이는 임의의 u,v\in\operatorname{rad}B에 대하여

Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+B(u,v)=Q(u)+Q(v)

이기 때문이다.

K가 체이고, V가 그 위의 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

\operatorname{rad}Q\subseteq\operatorname{rad}B

여차원은 0 또는 1이다. 만약 K의 표수가 2가 아니라면, 항상 \operatorname{rad}Q=\operatorname{rad}B이다. 즉, 여차원이 1인 경우는 \operatorname{char}K=2인 경우에만 가능하다.

만약 Q의 근기가 \{0\}이라면, Q비특이 이차 형식(非特異二次形式, 영어: nonsingular quadratic form)이라고 한다.[2]:58, §3.4.7 만약 Q의 연관 쌍선형 형식 B비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, B의 근기가 \{0\}이라면), Q비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, 영어: nondegenerate quadratic form)이라고 한다.[2]:58, §3.4.7 만약 \operatorname{char}K\ne2라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, \operatorname{char}K=2일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. 이 경우는

\dim_K\operatorname{rad}B=1
\dim_K\operatorname{rad}Q=0

인 경우이다.

정부호성[편집]

순서체 K 위의 벡터 공간 V 위의 이차 형식 Q에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.

  • 양의 정부호 이차 형식(陽의定符號二次形式, 영어: positive-definite quadratic form): 모든 v\in V\setminus\{0\}에 대하여, Q(v)>0이다.
  • 음의 정부호 이차 형식(陰의定符號二次形式, 영어: negative-definite quadratic form): 모든 v\in V\setminus\{0\}에 대하여, Q(v)<0이다.
  • 양의 준정부호 이차 형식(陽의準定符號二次形式, 영어: positive-semidefinite quadratic form): 모든 v\in V에 대하여, Q(v)\ge0이다.
  • 음의 준정부호 이차 형식(陰의準定符號二次形式, 영어: negative-semidefinite quadratic form): 모든 v\in V에 대하여, Q(v)\le0이다.
  • 부정부호 이차 형식(不定符號二次形式, 영어: indefinite quadratic form): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

만약 K실폐체이거나 (보다 일반적으로) K에서 모든 양수의 제곱근이 존재한다면, 부정부호 이차 형식의 개념은 보편 이차 형식의 개념과 같다.

이차 공간[편집]

가환환 R 위의 이차 공간(二次空間, 영어: quadratic space) (M,Q)R 위의 가군 M과 그 위의 이차 형식 Q\colon M\to R의 순서쌍이다.

R 위의 두 이차 공간 (M,Q), (M',Q') 사이의 사상(영어: morphism of quadratic spaces)은 다음 조건을 만족시키는 함수 f\colon M\to M'이다.

단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장(영어: embedding)이라고 한다. 이차 공간의 매장 \iota\colon(M,Q)\to(M',Q')이 주어졌을 때, 만약 \operatorname{coker}\iota=M'/\iota(M)자유 가군이라면, \iota원시 매장(영어: primitive embedding)이라고 한다.

수의 표현[편집]

가환환 R 위의 가군 M 위의 이차 형식 Q가 주어졌다고 하자. 임의의 r\in R에 대하여, 만약 Q(m)=rm\in M이 존재한다면, mrQ에 의한 표현(영어: representation of r by Q)이라고 한다.

만약 R의 모든 원소가 Q에 의하여 표현될 수 있다면, Q보편 이차 형식(普遍二次形式, 영어: universal quadratic form)이라고 한다.

성질[편집]

비트 소거 정리[편집]

임의의 표수의 체 K 위의 이차 공간 (V_1,Q_1), (V_2,Q_2), (V_3,Q_3)이 주어졌다고 하자. 비트 소거 정리(영어: Witt cancellation theorem)에 따르면, 만약 (V_1,Q_1)\oplus(V_3,Q_3)\cong(V_2,Q_2)\oplus(V_3,Q_3)이라면, (V_1,Q_1)\cong(V_2,Q_2)이다.

대칭 쌍선형 형식과의 관계[편집]

홀수 표수의 체 K 위의 벡터 공간 V 위의 이차 형식들은 V 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 Q에 대응하는 쌍선형 형식은 그 연관 쌍선형 형식의 절반

B(u,v)=\frac12\left(Q(u+v,u+v)-Q(u)-Q(v)\right)

이며, 반대로 대칭 쌍선형 형식 B에 대응하는 이차 형식은 다음과 같다.

Q(v)=B(v,v)

즉, 홀수 표수에서 이차 형식은 대칭 쌍선형 형식과 사실상 같은 개념이다.

표수가 2일 경우, 위 동치는 성립하지 않는다. 이는 2의 역수가 존재하지 않기 때문이다.

대각화와 비트 분해 정리[편집]

K 위의 유한 차원 벡터 공간 K^n=\operatorname{Span}_K\{x_1,\dots,x_n\} 위의 이차 형식 Q

\sum_{i=1}^na_ix_i^2\qquad(a_1,\dots,a_n\in K)

의 꼴의 이차 형식과 동치라면, Q대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, 영어: diagonalizable quadratic form)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다.

비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 K 위의 이차 공간 (V,Q)는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.

(V,Q)=(V_0,0)\oplus(V_1,Q_1)\oplus(V_2,Q_2)

여기서 각 성분은 다음과 같다.

  • (V_0,0)은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
  • (V_1,Q_1)은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
  • (V_2,Q_2)분해 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, \dim_KV_2=2n는 짝수이며, V_2 속에서 Q_2|_W=0n차원 부분 공간 W\subseteq V_2이 존재한다.

이 경우 (V_1,Q_1)(V,Q)핵심(영어: core)이라고 한다. 또한, \dim_K(V_1\oplus V_2)Q계수(영어: rank)라고 하며, (\dim_KV_2)/2Q비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.[2]:58 비트 정리에 따라, Q|_W=0이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

같은 체 위의 두 이차 공간 (V,Q), (V',Q')의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치(영어: Witt-equivalent)라고 한다. 표수가 2가 아닌 주어진 체 K 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 W(K)을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.

  • (V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q'). \oplus는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
  • -(V,Q)=(V,-Q)
  • 0=(K^0,0). 여기서 K^0K 위의 0차원 벡터 공간이다.
  • (V,Q)\cdot(V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q') \otimes는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
  • 1=(K^1,x\mapsto x^2)

이 가환환을 K비트 환(영어: Witt ring)이라고 한다. 같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 차원들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형

\dim\colon W(K)\to\mathbb Z/(2)

을 갖는다.

분류[편집]

이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.

복소수 이차 형식의 분류[편집]

K표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, K가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 K^n 위의 이차 형식은 그 계수 r에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 Q은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2\qquad(1\le r\le n)

이 경우, 이차 형식은 계수 r에 의하여 완전히 분류된다.

K 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, K 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, K의 비트 환은 \mathbb Z/(2)이다.[3]:34

실수 이차 형식의 분류[편집]

(K,\le)에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, K실수체 \mathbb R이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

유한 차원 실수 벡터 공간 K^n 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 (s,k)에 따라서 완전히 분류된다 (1\le s\le k\le n). 즉, 모든 이차 형식 Q은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

x_1^2+x_2^2+\cdots+x_s^2-x_{s+1}^2-\cdots-x_r^2\qquad(1\le s\le k\le n)

구체적으로, n 변수의 K 계수 이차 형식 Q(x_1,\dots,x_n)n\times n 대칭 행렬 M으로 나타낼 수 있다.

Q(x_1,\dots,x_n)=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}

Q부호수(영어: signature) (n_+,n_0,n_-)M의 양의 고윳값의 수 n_+\in\mathbb N, 고윳값 0의 중복도 n_0\in\mathbb N, 음의 고윳값의 수 n_-\in\mathbb N의 순서쌍이다. 물론

n_++n_0+n_-=n

이다. 여기서, n_+ 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 (n_+,n_0,n_-)는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, 영어: Sylvester’s law of inertia)이라고 한다.

이에 따라, K의 비트 환은 \mathbb Z와 동형이다.[3]:34

W(K)\cong\mathbb Z

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

  • 계수 n\in\mathbb Z^+의 양의 정부호 형식은 n에 대응한다.
  • 계수 n\in\mathbb Z^+의 음의 정부호 형식은 -n에 대응한다.
  • 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 0에 대응한다.

K 위의 보편 이차 형식은 부정부호 이차 형식이다. 즉, 부호수 (n_+,n_0,n_-)에서 n_+,n_-\ge1인 경우이다. 만약 n_+\ge1이지만 n_-=0인 경우 (양의 정부호) 이차 형식은 오직 음이 아닌 수만을 표현하며, 반대로 만약 n_-\ge1이지만 n_+=0인 경우 (음의 정부호) 이차 형식은 오직 양이 아닌 수만을 표현한다. 만약 n_+=n_-=0인 경우, 이차 형식은 오직 0만을 표현한다.

국소체 위의 이차 형식의 분류[편집]

p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세 불변량(영어: Hasse invariant)에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.

비아르키메데스 국소체 K의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 q라고 하고, q가 홀수라고 하자. 그렇다면, K의 비트 환은 다음과 같다.[3]:152

W(K)\cong\begin{cases}\left(\mathbb Z/(2)\right)[\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)]&q\equiv1\pmod4\\\left((\mathbb Z/(4)\right)[\operatorname{Cyc}(2)]&q\equiv3\pmod4\end{cases}

여기서 \operatorname{Cyc}(2)는 2차 순환군이며, R[G]군환을 뜻한다.

대역체 위의 이차 형식의 분류[편집]

하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 K 위의 두 이차 형식 Q, Q'이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

  • K의 완비화인 모든 국소체 k에 대하여, Q_kQ'_k는 서로 동치이다. 여기서 Q_kQk\supset K 계수로 간주한, k 위의 이차 형식이다.

유리수체 \mathbb Q의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.[3]:166

W(\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/(8))[s,t]/(2s,2t,s^2,t^2,st-4)

홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류[편집]

표수가 2가 아닌 유한체 \mathbb F_q 위의 벡터 공간 \mathbb F_q^n 위의 이차 형식의 동치류는 총 2n+1개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. a\in\mathbb F_q가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

\nexists b\in\mathbb F_q\colon b^2=a

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

Q_1^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,1)
Q_2^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,a)

즉, 다음과 같은 꼴이다.

Q_1^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2
Q_2^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+ax_n^2

만약 n이 홀수라면, Q_2^{(n)}\alpha Q_1^{(n)}과 동치이다.[2]:69 이 경우 비트 지표는 Q_1^{(n)}, Q_2^{(n)} 둘 다 (n-1)/2이다.

만약 n이 짝수라면, Q_1^{(n)}\alpha Q_1^{(n)}과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.[2]:59

  • n\equiv2\pmod4이며 q\equiv3\pmod4인 경우, Q_1^{(n)}의 비트 지표는 n/2-1이며 Q_2^{(n)}의 비트 지표는 n/2이다.
  • n\equiv0\pmod4이거나 또는 q\equiv1\pmod4인 경우, Q_1^{(n)}의 비트 지표는 n/2이며 Q_2^{(n)}의 비트 지표는 n/2-1이다.

이 경우, 비트 지표가 n/2인 경우를 플러스형(영어: plus-type), n/2-1인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.[2]:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

\operatorname{diag}(1,\dots,1,1,0,\dots,0)
\operatorname{diag}(1,\dots,1,a,0,\dots,0)

홀수 차수 유한체 \mathbb F_q의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 q에 따라 구체적으로 다음과 같다.[3]:37

W(\mathbb F_q)\cong\begin{cases}\mathbb Z/(4)&q\equiv3\pmod4\\\mathbb F_2[\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2]&q\equiv1\pmod4\end{cases}

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

q\equiv3\pmod4인 경우
\mathbb Z/(4) 0 1 2 3
W(\mathbb F_q) Q_1^{(0)} Q_1^{(1)} Q_1^{(2)} Q_2^{(1)}
q\equiv1\pmod4인 경우
\mathbb F_2[x]/(x^2) 0 1 x 1+x
W(\mathbb F_q) Q_1^{(0)} Q_1^{(1)} Q_2^{(2)} Q_2^{(1)}

짝수 차수의 유한체 위의 이차 형식의 분류[편집]

표수가 2가 아닌 유한체 \mathbb F_q 위의 벡터 공간 \mathbb F_q^n 위의 이차 형식의 동치류는 총 \lceil(3n+1)/2\rceil개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 n이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.[2]:58–59, §3.4.7 n이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, n이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, n이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

\operatorname{diag}\left(1,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)

즉, 다음과 같은 꼴이다.

Q(x)=x_1^2+x_2x_3+x_4x_5+\cdots+x_{n-1}x_n

이 경우 Q의 연관 대칭 쌍선형 형식

B=\operatorname{diag}\left(0,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)

이다. 즉, \operatorname{rad}B=\operatorname{Span}_{\mathbb F_q}\{x_1\}이다.

a\in\mathbb F_qx^2+x+a=0의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) n이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.[2]:58–59, §3.4.7

\operatorname{diag}\left(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)
\operatorname{diag}\left(\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right)

즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

Q_+(x)=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{n-1}x_n
Q_-(x)=ax_1^2+x_2^2+x_1x_2+x_3x_4+\cdots+\cdots+x_{n-1}x_n

이 경우 Q_+플러스형(영어: plus-type), Q_-마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.[2]:59 Q_+의 비트 지표는 n/2이며, Q_-의 비트 지표는 n/2-1이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

정수환 위의 이차 형식의 분류[편집]

정수환 \mathbb Z이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 완전히 분류하였다.[4] 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier)가 개발한 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 분류할 수 있다.[4] 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.[4]

정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, 영어: genus)라는 동치 관계가 존재한다. \mathbb Z^n 위의 두 이차 형식 Q, Q'이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다.

  • QQ'는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
  • 모든 소수 p=2,3,5,\dots에 대하여, p진 정수환 \mathbb Z_p를 정의한다면, QQ'\mathbb Z_p 계수 위에서 서로 동치이다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식(Smith-Minkowski-Siegel質量公式, 영어: Smith–Minkowski–Siegel mass formula)에 의하여 주어진다.

응용[편집]

이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.

대수기하학[편집]

임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.

모듈러 형식[편집]

임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.

격자 이론[편집]

정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(영어: geometry of numbers)이나 코드 이론(영어: coding theory), 암호학 등에 응용된다.

역사[편집]

고대 수학에서의 이차 형식[편집]

특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 x^2+y^2을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마페르마의 두 제곱수 정리로서 해결하였다.

기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 x^2-ny^2을 연구하는 문제이다.

19세기 이차 형식 이론[편집]

1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(영어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다.[5] 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(영어: inertia)이라고 불렀기 때문이다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스(영어: Henry John Stephen Smith)는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.[6] 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문[7] 에서 이차 형식의 종수(영어: genus)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

20세기~21세기 이차 형식 이론[편집]

헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고,[8] 이를 비롯한 세 편의 논문[8][9][10] 에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문[11] 에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.[12]

마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,[4] 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier, 1940~)는 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.[4] 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001. 
  2. Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285. 
  3. Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
  4. Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997). 《The sensual (quadratic) form》. Carus Mathematical Monographs (영어). The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-030-5. Zbl 0885.11002. 
  5. Sylvester, James Joseph (1852). “A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares” (PDF). 《Philosophical Magazine (series 4)》 (영어) 4 (23): 138–142. doi:10.1080/14786445208647087. 
  6. Smith, H. J. Stephen (1867). “On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates”. 《Proceedings of the Royal Society of London》 (영어) 16: 197–208. doi:10.1098/rspl.1867.0036. JFM 01.0054.03. JSTOR 112491. 
  7. Minkowski, Hermann (1885). “Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält”. 《Acta Mathematica》 (독일어) 7: 201–258. doi:10.1007/BF02402203. ISSN 0001-5962. JFM 17.0159.01. 
  8. Siegel, Carl Ludwig (1935년 7월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 36 (3): 527–606. doi:10.2307/1968644. JFM 61.0140.01. JSTOR 1968644. Zbl 0012.19703. 
  9. Siegel, Carl Ludwig (1936년 1월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen II”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 37 (1): 230–263. doi:10.2307/1968694. JSTOR 1968694. 
  10. Siegel, Carl Ludwig (1937년 1월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 38 (1): 212–291. doi:10.2307/1968520. JSTOR 1968520. 
  11. Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1937 (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701. 
  12. Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Ricardo Baeza, Wai Kiu Chan, Detlev W. Hoffmann, Rainer Schulze-Pillot. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110. 

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