이차 형식

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수론선형대수학에서, 이차 형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다.

정의[편집]

가환환 위의 가군 위의 이차 형식 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 이다.[1]:244[2]:54, (3.15)

  • (동차성) 임의의 에 대하여,
  • (쌍선형성) 함수 , 를 정의하면, 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
    • 임의의 에 대하여,
    • 임의의 에 대하여,

이 경우, 연관 쌍선형 형식(영어: associated bilinear form)이라고 한다.[2]:54 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.[2]:54

흔히 다루어지는 경우는 이거나 대수적 정수환이며, 자유 가군인 경우다.

같은 가환환 위에 두 가군 , 이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 , 이 존재한다고 하자. 사이의 동치(영어: equivalence) 는 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.

  • 는 가군의 동형이다.
  • 이다.

두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.

비퇴화 이차 형식[편집]

가환환 위의 가군 위의 이차 형식 의 연관 쌍선형 형식이 라고 하자. 등방성 벡터(等方性vector, 영어: isotropic vector)는 인 원소 이다.[2]:58, §3.4.7 근기(영어: radical) 의 근기

에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.[2]:58, §3.4.7

이는 의 부분 가군이자 의 부분 가군이다. 이는 임의의 에 대하여

이기 때문이다.

가환환 위의 가군 위의 이차 형식 가 다음 조건을 만족시킨다면, 비퇴화 이차 형식이라고 한다.[3]:59–60, §2.3

  • 연관 대칭 쌍선형 형식 비퇴화 쌍선형 형식이다. 즉, 로부터 정의되는 사상 , 이 가군의 동형 사상이다.

가 체이고, 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

여차원은 0 또는 1이다. 만약 의 표수가 2가 아니라면, 항상 이다. 즉, 여차원이 1인 경우는 인 경우에만 가능하다.

만약 의 근기가 이라면, 비특이 이차 형식(非特異二次形式, 영어: nonsingular quadratic form)이라고 한다.[2]:58, §3.4.7 만약 의 연관 쌍선형 형식 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, 의 근기가 이라면), 비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, 영어: nondegenerate quadratic form)이라고 한다.[2]:58, §3.4.7 만약 라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, 일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. 이 경우는

인 경우이다.

정부호성[편집]

순서체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식 에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.

  • 양의 정부호 이차 형식(陽의定符號二次形式, 영어: positive-definite quadratic form): 모든 에 대하여, 이다.
  • 음의 정부호 이차 형식(陰의定符號二次形式, 영어: negative-definite quadratic form): 모든 에 대하여, 이다.
  • 양의 준정부호 이차 형식(陽의準定符號二次形式, 영어: positive-semidefinite quadratic form): 모든 에 대하여, 이다.
  • 음의 준정부호 이차 형식(陰의準定符號二次形式, 영어: negative-semidefinite quadratic form): 모든 에 대하여, 이다.
  • 부정부호 이차 형식(不定符號二次形式, 영어: indefinite quadratic form): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

이차 공간[편집]

가환환 위의 이차 공간(二次空間, 영어: quadratic space) 위의 가군 과 그 위의 이차 형식 의 순서쌍이다.

위의 두 이차 공간 , 사이의 사상(영어: morphism of quadratic spaces)은 다음 조건을 만족시키는 함수 이다.

  • -가군가군 준동형이다.
  • 이다.

단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장(영어: embedding)이라고 한다. 이차 공간의 매장 이 주어졌을 때, 만약 자유 가군이라면, 원시 매장(영어: primitive embedding)이라고 한다.

성질[편집]

비트 소거 정리[편집]

임의의 표수의 체 위의 이차 공간 , , 이 주어졌다고 하자. 비트 소거 정리(영어: Witt cancellation theorem)에 따르면, 만약 이라면, 이다.

쌍선형 형식과의 관계[편집]

가환환 에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어, 표수가 2가 아닌 일 경우), -가군 위의 이차 형식은 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 의 연관 쌍선형 형식

이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.

그러나 만약 에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다.

보다 일반적으로, 임의의 가환환 위의 가군 에 대하여, 2차 순환군 쌍선형 형식의 공간 위에 다음과 같이 작용한다.

이에 대하여, 군환 위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약 이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다.

0차 군 호몰로지군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다.

만약 일 경우, 이는 위의 이차 형식의 공간 과 다음과 같이 동형이다.

다시 말해, 다음과 같은 -가군완전열이 존재한다.

클리퍼드 대수와의 관계[편집]

가환환 위의 가군 위의 이차 형식 가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 클리퍼드 대수 를 정의할 수 있다. 이는 -단위 결합 대수이다.

클리퍼드 대수는 표준적인 단사 -선형 변환

를 갖는다.

이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.

대각화와 비트 분해 정리[편집]

위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식

의 꼴의 이차 형식과 동치라면, 대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, 영어: diagonalizable quadratic form)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 알고리즘은 다음과 같은 그람-슈미트 과정의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 가 주어졌을 때, 일 경우 이미 대각화돼 있으므로 를 가정할 수 있다. 이 경우 를 고를 수 있으며, 이 경우

이다. 따라서, 마찬가지로 를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다.

비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 위의 이차 공간 는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.

여기서 각 성분은 다음과 같다.

  • 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
  • 은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
  • 분해 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, 는 짝수이며, 속에서 차원 부분 공간 이 존재한다.

이 경우 핵심(영어: core)이라고 한다. 또한, 계수(영어: rank)라고 하며, 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.[2]:58 비트 정리에 따라, 이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

분류[편집]

이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.

복소수 이차 형식의 분류[편집]

표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, 가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 위의 이차 형식은 그 계수 에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

이 경우, 이차 형식은 계수 에 의하여 완전히 분류된다.

실수 이차 형식의 분류[편집]

에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, 실수체 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

유한 차원 실수 벡터 공간 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 에 따라서 완전히 분류된다 (). 즉, 모든 이차 형식 은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

구체적으로, n 변수의 계수 이차 형식 대칭 행렬 으로 나타낼 수 있다.

부호수(영어: signature) 의 양의 고윳값의 수 , 고윳값 0의 중복도 , 음의 고윳값의 수 의 순서쌍이다. 물론

이다. 여기서, 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, 영어: Sylvester’s law of inertia)이라고 한다.

국소체 위의 이차 형식의 분류[편집]

p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.

대역체 위의 이차 형식의 분류[편집]

하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 위의 두 이차 형식 , 이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

  • 의 완비화인 모든 국소체 에 대하여, 는 서로 동치이다. 여기서 계수로 간주한, 위의 이차 형식이다.

홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류[편집]

표수가 2가 아닌 유한체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식의 동치류는 총 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. 가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

즉, 다음과 같은 꼴이다.

만약 이 홀수라면, 과 동치이다.[2]:69 이 경우 비트 지표는 , 둘 다 이다.

만약 이 짝수라면, 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.[2]:59

  • 이며 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.
  • 이거나 또는 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.

이 경우, 비트 지표가 인 경우를 플러스형(영어: plus-type), 인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.[2]:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

홀수 차수 유한체 의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 에 따라 구체적으로 다음과 같다.[4]:37

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

인 경우
0 1 2 3
인 경우
0 1 x 1+x

짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류[편집]

표수가 2가 아닌 유한체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식의 동치류는 총 개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.[2]:58–59, §3.4.7 이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, 이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, 이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

즉, 다음과 같은 꼴이다.

이 경우 의 연관 대칭 쌍선형 형식

이다. 즉, 이다.

의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) 이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.[2]:58–59, §3.4.7

즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

이 경우 플러스형(영어: plus-type), 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.[2]:59 의 비트 지표는 이며, 의 비트 지표는 이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

정수환 위의 이차 형식의 분류[편집]

정수환 이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 완전히 분류하였다.[5]:§15.1 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier)가 개발한 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 분류할 수 있다.[5]:§15.1 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.[5]:§15.1

정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, 영어: genus)라는 동치 관계가 존재한다. 위의 두 이차 형식 , 이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다.

  • 는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
  • 모든 소수 에 대하여, p진 정수환 를 정의한다면, 계수 위에서 서로 동치이다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식에 의하여 주어진다.

응용[편집]

이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.

대수기하학[편집]

임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.

모듈러 형식[편집]

임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.

격자 이론[편집]

정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(영어: geometry of numbers)이나 코드 이론(영어: coding theory), 암호학 등에 응용된다.

역사[편집]

고대 수학에서의 이차 형식[편집]

특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마페르마의 두 제곱수 정리로서 해결하였다.

기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 을 연구하는 문제이다.

19세기 이차 형식 이론[편집]

1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(영어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다.[6] 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(영어: inertia)이라고 불렀기 때문이다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.[7] 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문[8] 에서 이차 형식의 종수(영어: genus)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

20세기~21세기 이차 형식 이론[편집]

헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고,[9] 이를 비롯한 세 편의 논문[9][10][11] 에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문[12] 에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.[13]

마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,[5]:§15.1 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier, 1940~)는 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.[5]:§15.1 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 148 4판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-4176-8. ISBN 978-1-4612-8686-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0810.20001. 
  2. Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285. 
  3. Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). 《Quadratic mappings and Clifford algebras》 (영어). Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-7643-8606-1. ISBN 978-3-7643-8605-4. 
  4. Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
  5. Conway, John Horton; Sloane, N. J. A. (1999). 《Sphere packings, lattices and groups》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 290 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-6568-7. ISBN 0-387-98585-9. ISSN 0072-7830. Zbl 0915.52003. 
  6. Sylvester, James Joseph (1852). “A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares” (PDF). 《Philosophical Magazine (series 4)》 (영어) 4 (23): 138–142. doi:10.1080/14786445208647087. 
  7. Smith, H. J. Stephen (1867). “On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates”. 《Proceedings of the Royal Society of London》 (영어) 16: 197–208. doi:10.1098/rspl.1867.0036. JFM 01.0054.03. JSTOR 112491. 
  8. Minkowski, Hermann (1885). “Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält”. 《Acta Mathematica》 (독일어) 7: 201–258. doi:10.1007/BF02402203. ISSN 0001-5962. JFM 17.0159.01. 
  9. Siegel, Carl Ludwig (1935년 7월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 36 (3): 527–606. doi:10.2307/1968644. JFM 61.0140.01. JSTOR 1968644. Zbl 0012.19703. 
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  11. Siegel, Carl Ludwig (1937년 1월). “Über die analytische Theorie der quadratischen Formen III”. 《Annals of Mathematics. Second Series》 (독일어) 38 (1): 212–291. doi:10.2307/1968520. JSTOR 1968520. 
  12. Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1937 (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701. 
  13. Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110. 

바깥 고리[편집]