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이 문서는 이차 형식의 동치류로 구성된
가환환에 관한 것입니다. 비트 벡터로 구성된
가환환에 대해서는
비트 벡터 문서를 참고하십시오.
이차 형식 이론에서, 비트 환(Witt環, 영어: Witt ring)은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.
비트 분해[편집]
비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체
위의 유한 차원 벡터 공간
위의 이차 형식
는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.
![{\displaystyle (V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1fd9d9183a532b657df3e5f2de1cccc544b7f7)
여기서 각 성분은 다음과 같다.
은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
는 분할 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉,
는 짝수이며,
속에서
인
차원 부분 공간
이 존재한다.
이 경우
을
의 핵심(核心, 영어: core)이라고 한다. 또한,
를
의 계수(階數, 영어: rank)라고 하며,
를
의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.[1]:58 비트 정리에 따라,
이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.
비트 환[편집]
같은 체 위의 두 이차 공간
,
의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치(영어: Witt-equivalent)라고 한다. 표수가 2가 아닌 체
위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합
을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.
.
는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
![{\displaystyle -(V,Q)=(V,-Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a308ad139469972f79c8c042636b8e590dcefefa)
. 여기서
는
위의 0차원 벡터 공간이다.
는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
![{\displaystyle 1=(K^{1},x\mapsto x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79848b4888bee6479aa11415582c1b00a53255d)
이 가환환을
의 비트 환이라고 한다.
계수와 행렬식[편집]
같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형
![{\displaystyle (\dim {\bmod {2}})\colon \dim \colon \operatorname {Witt} (K)\to \mathbb {Z} /(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b30a4c110d494bc300e08e1260533f1973125f3)
을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는
-등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵
을 비트 환의 기본 아이디얼(영어: fundamental ideal)이라고 한다.
표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식
의 행렬식(영어: determinant) 또는 판별식(영어: discriminant)
은
를 나타내는 대칭 행렬
의 행렬식
의
에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬
를 통해 바꾼다면
![{\displaystyle AM'A=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca436b476e9c22235946b95b178294f92a6cfb88)
![{\displaystyle (\det M')(\det A)^{2}=\det M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d771579fa423cf11bafc825bc33dd4d26b0ba2)
가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은
의 원소로서 잘 정의된다.
표수가 2가 아닌 체
에 대하여, 다음과 같은 가환환
를 정의하자.
![{\displaystyle \operatorname {GrQExt} (K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^{\times }/(K^{\times })^{2},\;e\in \mathbb {Z} /(2)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bd806aae769969751dee802093b32438c67201)
![{\displaystyle (d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd',e+e'\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b8559cec683d9c3e422745581ff1f75c03caee)
![{\displaystyle (d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^{e},ee')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3b1dae5fa39c41a6efeb3a7909ebfe8eb598fd)
즉,
의 원소는
의
-등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.[2]:113
그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\to \operatorname {GrQExt} (K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6775c67125881cdf01dc9f30ae8140a304bc53f4)
![{\displaystyle (V,Q)\mapsto (\det Q,\dim _{K}V{\bmod {2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a2b566192caefdcd10a8349788f22236fba97b)
이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.[3]:12
하세-비트 불변량[편집]
표수가 2가 아닌 체
위의
차원 벡터 공간
위의 대각화된 비퇴화 이차 형식
가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수)
들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군
의 원소들의 대표원들을 이룬다.
의 하세-비트 불변량(영어: Hasse–Witt invariant)은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.
![{\displaystyle \epsilon (V,Q)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[\left({\frac {a_{i},a_{j}}{K}}\right)\right]\in \operatorname {Br} (K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b68d3be1dc6af582ed11b4d01b6b3a3f9cee9c6)
이는
의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.
밀너 환과의 관계[편집]
표수가 2가 아닌 체
의 비트 환
의 기본 아이디얼
의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.
![{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)={\mathfrak {i}}(K)^{0}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{1}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{2}\supseteq {\mathfrak {i}}(K)^{3}\supseteq \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22838a1d317f412fc5515fa259f3a37e384c4739)
이에 대응되는
-등급환
![{\displaystyle R(K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}(K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6f29955e63f3d393e2e27280f8d8c220fc0d6a)
![{\displaystyle R_{n}(K)={\mathfrak {i}}(K)^{n}/{\mathfrak {i}}(K)^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3733ecbb98f1fc4f3903ba8126eaea3bae1f84d6)
을 정의할 수 있다.
체
위의 피스터 이차 형식(영어: Pfister quadratic form)은 다음과 같은 꼴의,
차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.
![{\displaystyle \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9121e0cafa9f8fd1e51249edbffd4a71fe22a72)
의 원소들은 모두 유한 개의
차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.[2]:316
체
의 밀너 환
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{\operatorname {M} }(K)={\frac {\operatorname {T} (K^{\times };\mathbb {Z} )}{(a\otimes (1-a))_{a\in K\setminus \{0,1\}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0526b0d708ff13256eb902c87e9a063571f367)
의 원소를
로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\bullet }^{\operatorname {M} }(K)\to R_{\bullet }(K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15361cd258fb17255f7b9f4832992850a323f92e)
![{\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\mapsto \operatorname {diag} (1,-a_{1})\otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{2})\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}\operatorname {diag} (1,-a_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5bdee1c44697e79e2bcadecbee85a6070c68f3)
이차 형식에 대한 밀너 추측(영어: Milnor conjecture on quadratic forms)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며,[4] 2007년에 드미트리 오를로프(러시아어: Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(러시아어: Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.[5]
복소수체[편집]
가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어,
가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간
위의 이차 형식은 그 계수
에 따라서 완전히 분류된다.
위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서,
위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라,
의 비트 환은
이다.[2]:34
대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.
실수체[편집]
가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어,
가 실수체
이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)
의 비트 환은
와 동형이다.[2]:34
![{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee041735391100c0f98b8d32e3afb62e046a60f8)
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
- 계수
의 양의 정부호 형식은
에 대응한다.
- 계수
의 음의 정부호 형식은
에 대응한다.
- 0차원의 벡터 공간 위의 형식은
에 대응한다.
실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환
로 구성되며, 2차 순환군이다.
![{\displaystyle \operatorname {Br} \mathbb {R} =\{\mathbb {R} ,\mathbb {H} \}\cong \operatorname {Cyc} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6954167a2dac69d768548941b28458aec47632)
이 경우 힐베르트 기호가
![{\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathbb {R} }}\right)={\begin{cases}-1&\max\{a,b\}<0\\+1&\max\{a,b\}>0\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238c12329ac2c90049be86f4ec760a62a2579851)
이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수
의 비퇴화 이차 형식
의 하세-비트 불변량은
![{\displaystyle \epsilon (Q)=(-1)^{s(s-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0d263acda0dd69308166e91dfad960ae9cee90)
이다.
국소체[편집]
비아르키메데스 국소체
의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가
라고 하고,
가 홀수라고 하자. 그렇다면,
의 비트 환은 다음과 같다.[2]:152
![{\displaystyle \operatorname {Witt} (K)\cong {\begin{cases}\left(\mathbb {Z} /(2)\right)[\operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 1{\pmod {4}}\\\left((\mathbb {Z} /(4)\right)[\operatorname {Cyc} (2)]&q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d42e6996c1a79d926f9536003ce2877f26e4bf2)
여기서
는 2차 순환군이며,
는 군환을 뜻한다.
유리수체[편집]
유리수체
의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.[2]:166
![{\displaystyle W(\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(8))[s,t]/(2s,2t,s^{2},t^{2},st-4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2257b1a13dfe101a1805841499fdaf0ce80aa49)
홀수 표수의 유한체[편집]
표수가 2가 아닌 유한체
위의 벡터 공간
위의 이차 형식의 동치류는 총
개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.
이들은 구체적으로 다음과 같다.
가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.
![{\displaystyle \nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a039e8c44f4cbde4269179f86a210eb2dbd51c)
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
![{\displaystyle Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2bb04ef80c57eada4c92ced59084e1ff100d5d)
![{\displaystyle Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82647de46ac85624bd86ca9f812e951e9909fa6c)
즉, 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b97a4111318a4a634d8ee598c2608cf5b9f4322)
![{\displaystyle Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e4e94b4945731346575815bc0d20bbb5cbc8f9)
만약
이 홀수라면,
는
과 동치이다.[1]:69 이 경우 비트 지표는
,
둘 다
이다.
만약
이 짝수라면,
은
과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.[1]:59
이며
인 경우,
의 비트 지표는
이며
의 비트 지표는
이다.
이거나 또는
인 경우,
의 비트 지표는
이며
의 비트 지표는
이다.
이 경우, 비트 지표가
인 경우를 플러스형(영어: plus-type),
인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.[1]:59
비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
![{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587894591414bb43f7b69d622c59b65652eec92f)
![{\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/565db1536b5d0c86a5e1535caae330d3ca892ed4)
홀수 차수 유한체
의 비트 환의 크기는 4이며, 이는
에 따라 구체적으로 다음과 같다.[2]:37
![{\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f379fd5c2566e1f15f0319c962928e7ce4ce9ec5)
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
인 경우
|
0 |
1 |
2 |
3
|
|
![{\displaystyle Q_{1}^{(0)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a689fae4609a9508575764b7245f5674de27bed3) |
![{\displaystyle Q_{1}^{(1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e461348690eb4d29b9f37570af0045e316ade062) |
![{\displaystyle Q_{1}^{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fba14c4314d4f76c84e7da6b3472dd534636093) |
|
인 경우
|
0 |
1 |
x |
1+x
|
|
![{\displaystyle Q_{1}^{(0)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a689fae4609a9508575764b7245f5674de27bed3) |
![{\displaystyle Q_{1}^{(1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e461348690eb4d29b9f37570af0045e316ade062) |
![{\displaystyle Q_{2}^{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150651a6dc10b88680010effc6c20859c2e15af3) |
|
에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문[6]에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.[7]
- ↑ 가 나 다 라 Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
- ↑ Conner, P.E.; Perlis, R. (1984년 7월). 《A survey of trace forms of algebraic number fields》. Series in Pure Mathematics (영어) 2. World Scientific. doi:10.1142/0066. ISBN 978-9971-966-04-1. Zbl 0551.10017.
- ↑ Milnor, John (1970). “Algebraic K-theory and quadratic forms” (PDF). 《Inventiones Mathematicae》 (영어) 9: 318–344. doi:10.1007/BF01425486. ISSN 0020-9910. 2016년 2월 17일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 5일에 확인함.
- ↑ Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007). “An exact sequence for K*M/2 with applications to quadratic forms”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 165: 1–13. doi:10.4007/annals.2007.165.1. MR 2276765. Zbl 1124.14017.
- ↑ Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1937 (176): 31-44. doi:10.1515/crll.1937.176.31. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701.
- ↑ Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. doi:10.1090/conm/493. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110.
외부 링크[편집]