밀너 환

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대수적 K이론에서, 밀너 환(Milnor環, 영어: Milnor ring)은 각 등급 성분이 대수적 K군으로 가는 자연스러운 군 준동형을 갖는 등급환이다. 그 0~2등급 성분은 대수적 K군과 동형이지만, 이는 고차 등급 성분에서 성립하지 않는다.

정의[편집]

위의 밀너 환 은 다음과 같다.

여기서

  • 가역원군이다.
  • 는 정수 계수 텐서 대수이다.
  • 으로부터 생성되는 양쪽 아이디얼이다.

이는 자연수 계수 등급환을 이룬다. 자연수 에 대하여, 밀너 환의 등급 성분을 차 밀너 K군(次Milnor K群, 영어: th Milnor K-group) 이라고 한다.

밀너 환의 등급 원소는 보통

로 표기하며, 기호(記號, 영어: symbol)라고 하기도 한다. (이는 힐베르트 기호 등과 비유한 것이다. 힐베르트 기호는 밀너 환과 유사한 이라는 항등식을 만족시킨다. 여기서 우변이 0 대신 1인 것은 군 연산을 덧셈 대신 곱셈으로 표기하기 때문이다.)

성질[편집]

밀너 환은 등급 가환 등급환이다.

밀너 K군에서 (퀼런) 대수적 K군으로 가는 자연스러운 군 준동형이 존재한다.

이는 에 대하여 동형 사상이지만, 일 때는 일반적으로 동형 사상이 아니다.

블록-가토 추측[편집]

임의의 체 표수의 배수가 아닌 정수 이 주어졌다고 하자. 1의 거듭제곱근으로 구성된, 의 주어진 분해 가능 폐포 에 대한 절대 갈루아 군 가군이라고 하자.

블록-가토 추측(Bloch-[加藤]推測, 영어: Bloch–Kato conjecture)에 따르면, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

여기서 좌변은 꼬임 군이 되는 몫군이며, 우변은 절대 갈루아 군군 코호몰로지(=에탈 코호몰로지)이다. 이 동형 사상을 갈루아 기호(Galois記號, 영어: Galois symbol)라고 한다.

블록-가토 추측은 스펜서 재니 블록(영어: Spencer Janney Bloch)과 가토 가즈야가 제시하였고, 블라디미르 보예보츠키가 2008년에 모티브 코호몰로지를 사용하여 증명하였다.[1]

이차 형식과의 관계[편집]

표수가 2가 아닌 라고 하자. 그 비트 환 기본 아이디얼(영어: fundamental ideal) 은 다음과 같은 군 준동형이다.

즉, 기본 아이디얼은 짝수 차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식들의 비트 동치류들로 구성된 아이디얼이다. 그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

여기서 는 대각화된 2차원 이차 형식을 뜻하며, 우변의 이차 형식의 텐서곱이다. (우변과 같은 꼴의 이차 형식을 피스터 형식(Pfister形式, 영어: Pfister form)이라고 하며, 이는 알브레히트 피스터(독일어: Albrecht Pfister)가 1965년에 도입하였다.[2])

밀너 추측(Milnor推測, 영어: Milnor conjecture)에 따르면, 이는 항상 아벨 군동형 사상을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프(러시아어: Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(러시아어: Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.[3]

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임의의 체 에 대하여,

이다.

유한체의 경우

이다.

비가산 집합이며, 유리수체 위의 벡터 공간이다.

유리수체의 2차 K군은 다음과 같다.

여기서 순환군을 뜻한다.

역사[편집]

존 밀너가 1970년에 도입하였다.[4] 이는 역사적으로 2차 대수적 K군의 최초의 올바른 구성이였다. 밀너는 마찬가지로 고차 밀너 K군을 정의하였는데, 이는 사실 고차 대수적 K군과 다르다는 것이 훗날 밝혀졌다. 그러나 고차 밀너 K군은 대수적 K군보다 더 다루기 편하며, 또 그 자체로 여러 흥미로운 성질(블록-가토 추측 등)을 가진다는 것이 밝혀졌다.

참고 문헌[편집]

  1. Voevodsky, Vladimir (2008). “On motivic cohomology with Z/l coefficients” (영어). Bibcode:2008arXiv0805.4430V. arXiv:0805.4430. 
  2. Pfister, Albrecht (1965). “Multiplikative quadratische Formen”. 《Archiv der Mathematik》 (독일어) 16 (1): 363–370. ISSN 0003-889X. doi:10.1007/BF01220043. 
  3. Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007). “An exact sequence for K*M/2 with applications to quadratic forms”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 165: 1–13. MR 2276765. Zbl 1124.14017. doi:10.4007/annals.2007.165.1. 
  4. Milnor, John (1970). “Algebraic K-theory and quadratic forms” (PDF). 《Inventiones Mathematicae》 (영어) 9: 318–344. ISSN 0020-9910. doi:10.1007/BF01425486. 

외부 링크[편집]