비트 벡터

가환대수학에서 비트 벡터 환(Witt vector環, 영어: ring of Witt vectors)은 주어진 가환환 속의 열들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 가환환 구조이다. p진 정수환의 일반화이다.

정의

비트 다항식(영어: Witt polynomial)들은 다음과 같은 다항식열이다.

$W_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{d\mid n}dx_{d}^{n/d}\in \mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ^{+}$

가환환 $R$가 주어졌을 때, $R$ 속의 열의 집합 $R^{\mathbb {Z} ^{+}}$ 위에 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

$W_{n,R}\colon R^{\mathbb {Z} ^{+}}\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}$

$W_{R}\colon (r_{1},r_{2},\dots )\mapsto \left(W_{1}(r_{1}),W_{2}(r_{1},r_{2}),W_{3}(r_{1},r_{2},r_{3}),\dots \right)$

그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들

$p^{(i)}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,y_{1},y_{2},\dots ]\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}$

$s^{(i)}\in \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,y_{1},y_{2},\dots ]\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}$

이 유일하게 존재한다.

• ${\vec {w}}+{\vec {w}}'=(s^{(1)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),s^{(2)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),\dots )$ 및 $({\vec {w}})({\vec {w}}')=(p^{(1)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),p^{(2)}({\vec {w}},{\vec {w}}'),\dots )$를 정의하였을 때, $R^{\mathbb {Z} ^{+}}$은 환을 이룬다. 이 환을 $\operatorname {WittVector} (R)$이라고 하자.
• $W\colon \operatorname {WittVector} (R)\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}$는 환 준동형을 이룬다. 여기서 정의역은 위에서 정의한 환 구조이며, 공역 $R^{\mathbb {Z} ^{+}}$은 가환환 $R$의 가산 무한 개 직접곱이다.

이 가환환을 $R$ 계수의 비트 벡터 환(영어: ring of Witt vectors with coefficients in $R$)이라고 한다.

비트 벡터 환은 가환환의 범주 위의 자기 함자를 이룬다.

$\operatorname {WittVector} \colon \operatorname {CRing} \to \operatorname {CRing}$

p-비트 벡터

가환환 $R$와 집합

$1\in S\subseteq \mathbb {Z} ^{+}$

이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$d\mid n,\;n\in S\implies d\in S$

(즉, $S$는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형

$W\colon \operatorname {WittVector} (R)\to R^{\mathbb {Z} ^{+}}$

에서, 아이디얼

$R^{S}\subseteq R^{\mathbb {Z} ^{+}}$

의 원상

$W^{-1}(R^{S})=\operatorname {WittVector} _{p}(R)\subseteq \operatorname {WittVector} (R)$

을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 가환환을 이루며, 이를 $R$ 계수의 $S$-비트 벡터 환(영어: ring of $S$-Witt vectors with coefficients in $R$)이라고 한다. (그러나 이는 $\operatorname {WittVector} (R)$의 항등원을 포함하지 않으므로, $\operatorname {WittVector} (R)$의 부분환이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형

$(W_{i})_{i\in S}\colon \operatorname {WittVector} _{S}(R)\to R^{S}\cong R^{\mathbb {Z} ^{+}}$

이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 자기 함자를 정의한다.

$\operatorname {WittVector} _{S}\colon \operatorname {CRing} \to \operatorname {CRing}$

특히, 소수 $p$에 대하여, $S=\{1,p,p^{2},p^{3},\dots \}$일 경우를 $R$ 계수의 $p$-비트 벡터 환(영어: ring of $p$-Witt vectors with coefficients in $R$)이라고 한다. 또한, 소수 $p$ 및 양의 정수 $n$에 대하여, $S=\{1,p,p^{2},\dots ,p^{n}\}$일 경우를 $R$ 계수의 길이 $n$의 $p$-비트 벡터 환(영어: ring of $p$-Witt vectors of length $n$ with coefficients in $R$)이라고 한다.

구체적으로, p-비트 벡터의 연산은 다음과 같다.

${\vec {r}}+{\vec {s}}=\left(r_{0}+s_{0},r_{1}+s_{1}+(r_{0}^{p}+s_{0}^{p}-(r_{0}+s_{0})^{p})/p,\dots \right)$

${\vec {r}}{\vec {s}}=\left(r_{0}s_{0},r_{0}^{p}s_{1}+s_{1}r_{0}^{p}+pr_{1}s_{1},\dots \right)$

성질

$S$-비트 벡터 환 위의 표준적 환 준동형

$W_{S}\colon \operatorname {WittVector} _{S}(R)\to R^{S}$

및 유일한 환 준동형

$\iota \colon \mathbb {Z} \to R$

을 생각하자.

• 만약 $\iota (S)\subseteq R^{\times }$이라면 (즉, $S$의 모든 원소들이 $R$에서 가역원이라면), $W_{S}$는 전단사 함수이다.
• 만약 $\iota (S)\subseteq R$가 모두 영인자가 아니라면, $W_{S}$는 단사 함수이다.

가환환 $R$ 위의 비트 벡터 $\operatorname {WittVector} (R)=\operatorname {WittVector} _{\mathbb {Z} ^{+}}(R)$는 표준적으로 람다 환의 구조를 갖는다.

예

만약 $S=\{1\}$일 경우, $\operatorname {WittVector} _{\{1\}}(R)\cong R$이다.

p진 정수

소수 $p$에 대하여, 유한체 $\mathbb {F} _{p}$ 위의 $p$-비트 벡터 환은 $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$과 동형이다.

구체적으로, $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$의 타이히뮐러 대표원의 집합은 0 및 $\mathbb {Z} _{p}$ 속의 1의 $p$제곱근 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다.

$\{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} _{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}$

(이들은 헨젤 보조정리에 의하여 항상 존재한다.) 몫환 사영 사상

$f\colon \mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}/(p)\cong \mathbb {F} _{p}$

아래

$f|_{\{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} _{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}}\colon \{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} _{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}\to \mathbb {F} _{p}$

는 전단사 함수를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 유한체 $\mathbb {F} _{p}$로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 $p$진 정수는 다음과 같은 형식적 멱급수로 나타낼 수 있다.

$a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots \qquad (a_{i}\in \{0\}\cup \{x\in \mathbb {Z} _{p}\colon x^{p}=x\neq 1\}\forall i\in \mathbb {N} )$

그렇다면, $p$진 정수의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.

역사

에른스트 비트가 1936년에 아르틴-슈라이어-비트 이론(표수 $p>0$의 체 위의 $p^{n}$차 순환 확대의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다.

참고 문헌

• Hazewinkel, Michiel (2009). 〈Witt vectors. Part 1〉. Hazewinkel, Michiel. 《Handbook of algebra. Volume 6》 (영어). Elsevier. 319–472쪽. arXiv:0804.3888. Bibcode:2008arXiv0804.3888H. doi:10.1016/S1570-7954(08)00207-6. ISBN 978-0-444-53257-2. MR 2553661. 

외부 링크

• “Witt vector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ring of Witt vectors”. 《nLab》 (영어). 
• “Witt cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Hochschild-Witt complex”. 《nLab》 (영어). 
• “De Rham-Witt complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Non-commutative Witt vectors”. 《nLab》 (영어). 
• “Is there a universal property for Witt vectors?” (영어). Math Overflow. 
• Ward, Matt (2011년 4월 4일). “Witt rings 1”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 4월 17일). “Witt vectors 2”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 4월 19일). “Witt vectors form a ring”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 4월 23일). “Formal Witt vectors”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 4월 25일). “Other forms of Witt vectors”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 4월 26일). “Sheaf of Witt vectors”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 4월 28일). “Sheaf of Witt vectors 2”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 5월 10일). “Witt cohomology caution”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2016년 9월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 6일에 확인함.