비트 환

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이차 형식 이론에서, 비트 환(Witt環, 영어: Witt ring)은 비퇴화 이차 형식동치류로 구성된 가환환이다.

정의[편집]

비트 분해[편집]

비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.

여기서 각 성분은 다음과 같다.

  • 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
  • 은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
  • 분할 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, 는 짝수이며, 속에서 차원 부분 공간 이 존재한다.

이 경우 핵심(核心, 영어: core)이라고 한다. 또한, 계수(階數, 영어: rank)라고 하며, 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.[1]:58 비트 정리에 따라, 이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

비트 환[편집]

같은 체 위의 두 이차 공간 , 의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치(영어: Witt-equivalent)라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.

  • . 는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
  • . 여기서 위의 0차원 벡터 공간이다.
  • 는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.

이 가환환을 비트 환이라고 한다.

성질[편집]

계수와 행렬식[편집]

같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형

을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 -등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 을 비트 환의 기본 아이디얼(영어: fundamental ideal)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 행렬식(영어: determinant) 또는 판별식(영어: discriminant) 를 나타내는 대칭 행렬 행렬식 에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저가역 행렬 를 통해 바꾼다면

가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 의 원소로서 잘 정의된다.

표수가 2가 아닌 체 에 대하여, 다음과 같은 가환환 를 정의하자.

즉, 의 원소는 -등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.[2]:113

그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.

이는 전사 함수이며, 그 은 기본 아이디얼의 제곱이다.[3]:12

하세-비트 불변량[편집]

표수가 2가 아닌 체 위의 차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) 들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 의 원소들의 대표원들을 이룬다. 하세-비트 불변량(영어: Hasse–Witt invariant)은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.

이는 의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.

밀너 환과의 관계[편집]

표수가 2가 아닌 체 의 비트 환 의 기본 아이디얼 의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.

이에 대응되는 -등급환

을 정의할 수 있다.

위의 피스터 이차 형식(영어: Pfister quadratic form)은 다음과 같은 꼴의, 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.

의 원소들은 모두 유한 개의 차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.[2]:316

밀너 환

의 원소를 로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.

이차 형식에 대한 밀너 추측(영어: Milnor conjecture on quadratic forms)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며,[4] 2007년에 드미트리 오를로프(러시아어: Дми́трий Орло́в) · 알렉산드르 비시크(러시아어: Алекса́ндр Вишик) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.[5]

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복소수체[편집]

표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, 가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 위의 이차 형식은 그 계수 에 따라서 완전히 분류된다.

위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, 의 비트 환은 이다.[2]:34

대수적으로 닫힌 체브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.

실수체[편집]

에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, 실수체 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

의 비트 환은 와 동형이다.[2]:34

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

  • 계수 의 양의 정부호 형식은 에 대응한다.
  • 계수 의 음의 정부호 형식은 에 대응한다.
  • 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 에 대응한다.

실수체브라우어 군실수체사원수환 로 구성되며, 2차 순환군이다.

이 경우 힐베르트 기호

이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 의 비퇴화 이차 형식 의 하세-비트 불변량은

이다.

국소체[편집]

비아르키메데스 국소체 의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 라고 하고, 가 홀수라고 하자. 그렇다면, 의 비트 환은 다음과 같다.[2]:152

여기서 는 2차 순환군이며, 군환을 뜻한다.

유리수체[편집]

유리수체 의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.[2]:166

홀수 표수의 유한체[편집]

표수가 2가 아닌 유한체 위의 벡터 공간 위의 이차 형식의 동치류는 총 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. 가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

즉, 다음과 같은 꼴이다.

만약 이 홀수라면, 과 동치이다.[1]:69 이 경우 비트 지표는 , 둘 다 이다.

만약 이 짝수라면, 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.[1]:59

  • 이며 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.
  • 이거나 또는 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.

이 경우, 비트 지표가 인 경우를 플러스형(영어: plus-type), 인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.[1]:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

홀수 차수 유한체 의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 에 따라 구체적으로 다음과 같다.[2]:37

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

인 경우
0 1 2 3
인 경우
0 1 x 1+x

역사[편집]

에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문[6] 에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. Wilson, Robert (2009). 《The finite simple groups》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 251. Springer. ISBN 978-1-84800-987-5. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-84800-988-2. 
  2. Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
  3. Conner, P.E.; Perlis, R. (1984년 7월). 《A survey of trace forms of algebraic number fields》. Series in Pure Mathematics (영어) 2. World Scientific. ISBN 978-9971-966-04-1. Zbl 0551.10017. doi:10.1142/0066. 
  4. Milnor, John (1970). “Algebraic K-theory and quadratic forms” (PDF). 《Inventiones Mathematicae》 (영어) 9: 318–344. ISSN 0020-9910. doi:10.1007/BF01425486. 
  5. Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007). “An exact sequence for K*M/2 with applications to quadratic forms”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 165: 1–13. MR 2276765. Zbl 1124.14017. doi:10.4007/annals.2007.165.1. 
  6. Witt, Ernst (1937). “Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1937 (176): 31-44. ISSN 0075-4102. JFM 62.0106.02. Zbl 0015.05701. doi:10.1515/crll.1937.176.31. 
  7. Scharlau, R. (2009). 〈Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups〉 (PDF). Baeza, Ricardo; Chan, Wai Kiu; Hoffmann, Detlev W.; Schulze-Pillot, Rainer. 《Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile》. Contemporary Mathematics (영어) 493. American Mathematical Society. 339–357쪽. ISBN 978-0-8218-4648-3. MR 2537110. doi:10.1090/conm/493. 

외부 링크[편집]