야코비 형식

수학에서 야코비 형식(영어: Jacobi form)은 야코비 군 $\operatorname {Sp} (n;\mathbb {R} )\rtimes H_{\mathbb {R} }^{(n,h)}$에 대한 보형 형식이다. 야코비 세타 함수의 성질을 공리화한 개념이며, 대략 모듈러 형식과 타원함수를 혼합한 개념으로 볼 수 있다.

정의

무게(영어: weight)가 k이고 지표(영어: index)가 m인 야코비 형식 $\phi (\tau ;z)$은 두 개의 복소 변수 $\tau \in \mathbb {H}$ (상반평면), $z\in \mathbb {C}$에 대한, 다음 조건들을 충족시키는 함수이다.

• $\phi \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},{\frac {z}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{k}e^{\frac {2\pi imcz^{2}}{c\tau +d}}\phi (\tau ,z)$ (${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma =\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$
• 임의의 정수 $\lambda ,\mu$에 대하여, $\phi (\tau ,z+\lambda \tau +\mu )=e^{-2\pi im(\lambda ^{2}\tau +2\lambda z)}\phi (\tau ,z)$
• $\phi$는 다음과 같은 푸리에 급수를 갖는다.

$\phi (\tau ,z)=\sum _{n\geq 0}\sum _{r^{2}\leq 4mn}c(n,r)e^{2\pi i(n\tau +rz)}.$

또한, 변수가 2개가 아니라 n개인 경우 $\phi (\tau ;z_{1},z_{2},\dots )$에도 정의할 수 있다. 이 경우 n을 야코비 형식의 준위(영어: level)라고 한다.

예

준위가 1 (2변수)인 경우, 야코비 세타 함수와 바이어슈트라스 타원함수가 대표적인 예이다. 또한, 종수가 2인 지겔 모듈러 형식의 푸리에-야코비 계수 또한 2변수 야코비 형식이다.

더 많은 변수의 야코비 형식의 경우, 아핀 리 대수나 가짜 모듈러 형식(mock modular form)의 이론에 등장한다.

응용

야코비 형식은 이론물리학, 특히 2차원 𝒩=2 초등각 장론과 끈 이론에서 등장한다.

참고 문헌

• Eichler, Martin; Don Zagier (1985). 《The theory of Jacobi forms》. Progress in Mathematics (영어) 55. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3180-2. MR 781735. Zbl 0554.10018. 
• Skoruppa, Nils-Peter; Don Zagier (1988년 2월). “Jacobi forms and a certain space of modular forms”. 《Inventiones Mathematicae》 (영어) 94 (1): 113–146. doi:10.1007/BF01394347. ISSN 0020-9910. 

외부 링크

• de Quehen, Victoria (2010년 9월). “Jacobi forms” (PDF) (영어). 
• Choie, Youngju (2012). “4 lectures on Jacobi forms” (PDF) (영어). 2014년 1월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 1월 9일에 확인함. 

같이 보기

• 2차원 𝒩=2 초등각 장론