제곱 유군

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체론에서, 제곱 유군(-類群, 영어: square class group)은 제곱수의 곱셈에 대한 합동류들로 구성된 아벨 군이다.

정의[편집]

제곱 유군은 다음과 같은 몫군이다.

여기서 가역원군이다. 즉, 0이 아닌 의 원소 가운데, 제곱수에 대한 합동류들의 아벨 군이다. 제곱 유군의 원소를 제곱류(-類, 영어: square class)라고 한다.

제곱 유군이 자명군인 (즉, 모든 원소가 하나 이상의 제곱근을 갖는) 체를 이차 폐체(二次閉體, 영어: quadratically closed field)라고 한다.

성질[편집]

의 제곱 유군 은 정의에 따라 아벨 2-군이다. 즉, 모든 원소의 (군의 원소로서의) 차수가 2이다. 따라서, 만약 제곱 유군이 유한군이라면 그 크기는 2의 거듭제곱이다.

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크기 1[편집]

복소수체를 비롯한 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 즉, 제곱 유군이 자명군이다. 짝수 표수의 유한체 역시 이차 폐체이다.

크기 2[편집]

실수체의 제곱 유군은 2차 순환군이다.

홀수 표수의 유한체 의 제곱 유군은 2차 순환군이다. 예를 들어 다음과 같다.

  • 의 두 제곱류들은 {1}, {2}이다.
  • 의 두 제곱류들은 {1,4}, {2,3}이다.
  • 의 두 제곱류들은 {1,2,4}, {3,5,6}이다.
  • 의 두 제곱류들은 , 이다.

크기 4[편집]

홀수 소수 에 대하여, 진수체 의 제곱 유군의 크기는 4이다. 만약 -제곱잉여가 아닌 임의의 정수라면, 4개의 제곱류들의 대표원은 , , , 이다.

크기 8[편집]

2진수체 의 제곱 유군의 크기는 8이다.

무한 크기[편집]

유리수체 의 제곱 유군은 가산 무한 집합이다.

참고 문헌[편집]