대수기하학과 대수적 수론에서, 삼차 형식(三次型式, 영어: cubic form)은 어떤 벡터 공간 또는 가군 위에 정의된 3차 동차 다항식이다.[1] 즉, 선형 형식과 이차 형식의 다음 차수의 동차 다항식이다.
표수 0의 경우[편집]
가환환
가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
인
가 존재한다.
여기서
는
의 가역원군이다.
특히, 만약
에서 ½이 존재한다면, 이 조건이 충족된다. 이 경우
![{\displaystyle (\alpha ,\beta )=(+1,-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4f191317f23070490e0a325e9d16c79c925c5f)
을 잡을 수 있다.
이 경우,
-자유 가군
위의 삼차 형식은 다음 조건을 만족시키는 함수
![{\displaystyle f\colon K\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21c9dce47c270f1a34ca6bd2d51661840c30302)
이다.
![{\displaystyle f(\alpha x)=\alpha ^{3}f(x)\qquad \forall \alpha \in K,\;x\in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2040347386a9acf54550faf4ab03ac048cb6106d)
일반적 경우[편집]
일반적으로 삼차 형식의 분해를 잘 정의하기 위해서는 삼차 형식의 함수 말고도 스칼라 확대를 잘 정의하는 추가 데이터가 필요하다.[2]:187–188, §Ⅱ.4.1
가환환
위의 가군
위의 삼차 형식은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 함수
![{\displaystyle f\colon M\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef155847507feab6778ac3bdc585a1f417a30707)
- 함수
![{\displaystyle {\tilde {f}}\colon M\otimes _{K}K[t]\to K[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d85b318cb7cb94084513fa27c5d4b8d8a4a261c)
이는 다음과 같은 호환 관계를 만족켜야 한다.
![{\displaystyle f(\alpha x)=\alpha ^{3}f(x)\qquad \forall \alpha \in K,\;x\in M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2040347386a9acf54550faf4ab03ac048cb6106d)
![{\displaystyle f({\tilde {\alpha }}{\tilde {x}})={\tilde {\alpha }}^{3}{\tilde {f}}({\tilde {x}})\qquad \forall {\tilde {\alpha }}\in K[t],\;{\tilde {x}}\in M\otimes _{K}K[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ae807f833fb44595435b07e3056589257dce10)
. 여기서
및 <mah>\iota_{M\to M\otimes_KK[t]} \colon M \to M\otimes_KK[t]</math>는 다항식환의 상수 다항식으로 가는 단사 환 준동형 또는 가군 준동형이다.
만약
가 “충분히 크다면” (즉, 첫째 정의에 등장하는 조건을 만족시킨다면),
를
로부터 재구성할 수 있으나, 이는 일반적으로 성립하지 못할 수 있다.
삼차 형식의 분해[편집]
삼차 형식
가 주어졌을 때,
를
![{\displaystyle f(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}A(x_{1},x_{2},x_{3})+\sum _{i,j=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\lambda _{j}B(x_{i},x_{j})+\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{3}f(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb6153dc415577d18f39cbaeac4fe7d1a4ee92e)
와 같이 분해할 수 있다. 여기서
는 가군 준동형
![{\displaystyle A\colon \operatorname {Sym} ^{3}(M;K)\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43181f88c484d42e607ed8b15fd5421d95f32a1e)
을 정의하며,
![{\displaystyle A(x,y,z)=B(x+z,y)-B(x,y)-B(z,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cf2ac7ba4149da158012286d321289616a116f)
![{\displaystyle A(x,y,x)=2B(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecab42668eb8e74b1e4b829511b658d1bcb58abe)
![{\displaystyle A(x,x,x)=6f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef628299f2f011e5d04936765c3d5b7e0b475e8d)
이다.
즉, 만약
에서 6이 가역원이라면,
로부터
를 재구성할 수 있다.
일반적으로 삼차 형식의 분류는 불가능하며, 그 분석은 복잡한 대수기하학을 요구한다. 다만, 비교적 간단한 체(복소수체, 실수체 등)에서 2항 삼차 형식은 분류될 수 있다. 이는
항 삼차 형식은
![{\displaystyle {\binom {n+2}{3}}=(n+2)(n+1)n/6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a551ca78e60ea98f4b88ed719017eb2c70656099)
개의 계수를 갖는데,
차원 공간 위의 일반선형군
은
차원이다. 즉, 그 모듈라이 공간은 일반적으로
차원이 된다.
일 때 이는 0이지만,
일 때 이는 양수가 되게 된다.
복소수 2항 삼차 형식[편집]
모든 복소수 2항 삼차 형식은
의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.[3]:§4.2
![{\displaystyle x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2d4389a3b6f20cb8a118506601a68c2263143a)
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9837f19b3c9ef0cc10d9641a710dc380b32880bf)
![{\displaystyle x^{2}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbd831faf278ccb956ddb3f383e4913ae10b653)
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
실수 2항 삼차 형식[편집]
모든 실수 2항 삼차 형식은
의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.[3]:§5.2
![{\displaystyle x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2d4389a3b6f20cb8a118506601a68c2263143a)
![{\displaystyle x^{3}+y^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9837f19b3c9ef0cc10d9641a710dc380b32880bf)
![{\displaystyle x^{2}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbd831faf278ccb956ddb3f383e4913ae10b653)
![{\displaystyle x(x^{2}-y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d507ce548a5bd734fa8864988e455427d82ff5ed)
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]