이차 형식 이론에서, 종수(種數, 영어: genus)는 대역체의 대수적 정수환 계수의 이차 형식 위에 정의되는 동치 관계이다. 이는 이차 형식의 동치보다 더 엉성하다.
대역체
의 대수적 정수환
위의 유한 생성 자유 가군
위의 두 이차 형식
,
이 다음 조건을 만족시킨다면, 같은 종수에 속한다고 한다.
의 모든 (유한 또는 무한) 자리
에서,
는
와 동치이다. (여기서
는
에서의 국소체를 뜻하며,
는 그 대수적 정수환이다. 만약
가 아르키메데스 자리라면,
이다.)
이는
위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 동치 관계를 정의한다.
즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.
즉,
위의 이차 형식
및
속의 두
-자유 가군
가 주어졌을 때,
와
이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리
에 대하여
![{\displaystyle L\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}=f_{\mathfrak {p}}(L'\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}})\subset V\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8e66c4ebe947dd7f33a025164f81f616ea7422)
가 되는
![{\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \operatorname {O} (V\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}},Q;K_{\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9448348b062cf017955030bd8537201cd5db346)
가 존재한다는 것과 같다.
대역체
의 대수적 정수환
위의
차원 자유 가군
위의 이차 형식 종수
의 질량(영어: mass)은 다음과 같다.
![{\displaystyle m({\mathcal {G}})=\sum _{Q\in {\mathcal {G}}}{\frac {1}{|\operatorname {O} (n,Q;\mathbb {O} _{K})|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e56204ef65b70bf637a104b837f9d3c521cd85)
여기서
는 종수
에 속한 모든 이차 형식의 동치류
에 대한 합이다.
는
에 대한 직교군이다. 즉,
의 자기 동형군이다.
는 집합의 크기이다.
즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다.
스피너 종수[편집]
대역체
가 주어졌다고 하자.
위의 두 이차 형식
![{\displaystyle Q,Q'\colon {\mathcal {O}}_{K}^{n}\to {\mathcal {O}}_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeb4df653edf2ce72a56c0554d7892e72c23097)
및
![{\displaystyle g\in \operatorname {O} (n,Q;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dae7f2319bf414bdf7543811e204d16a29f9384)
![{\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \operatorname {\Omega } (n,Q;K)\qquad ({\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0022b4f526db9e9b9363fb82749cbd63a583ce)
에 대하여,
![{\displaystyle Q(v)=Q'\left(g(f_{\mathfrak {p}}(v))\right)\qquad \forall v\in K_{\mathfrak {p}}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc561b9b906f768cee05ed817ad3806377ebe62)
가 성립한다면,
와
이 같은 스피너 종수에 속한다고 한다. 여기서
는 스피너 노름
![{\displaystyle \operatorname {sn} \colon \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246720b906f31e0d81658269ca791fce617a69d3)
의 핵이다.
계수의 이차 형식들에 대하여 정의되는 동치 관계들은 다음과 같다. 왼쪽으로 갈 수록 더 섬세한 동치 관계이며, 오른쪽으로 갈 수록 더 엉성한 동치 관계이다.
-동치 → 같은 스피너 종수에 속함 → 같은 종수에 속함 →
-동치 (= 모든 자리에 대하여
-동치)
이차 형식을 이차 형식
가 주어진 벡터 공간
속의 격자들로 생각한다면, 이들의 정의에 등장하는 대칭군은 다음과 같다.
→
→
→ ![{\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382cc643f4df924f53c5b59b111b750bab70853b)
사실, 종수를 정의하는 동치 관계는 아델 이론을 사용하여 아델 직교군
![{\displaystyle \operatorname {O} (V_{\mathbb {A} },Q)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}'\operatorname {O} (V\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}},Q;K_{\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85880e7c9f5de2379dfa970e666245311ef147f3)
로 생각할 수 있다. (여기서
은 여유한 개의 원소가 1임을 뜻한다.)
는
위에 다음과 같이 작용한다. 우선, 하세-민코프스키 정리에 의하여 다음 두 집합 사이에 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.
속의
-격자 ![{\displaystyle L\subset K^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3310d4bec73e79be2e7947a998a104b8c66954f5)
- 각 자리에 대한 격자들의 열
가운데, 여유한 개의
에 대하여
인 것.
따라서,
는
위에 다음과 같이 성분별로 작용한다.
![{\displaystyle (L_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}\mapsto \left(g_{\mathfrak {p}}(L_{\mathfrak {p}})\right)_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d562c6ff1f3b9b85b0c9c17174a974d728c4681c)
같은 종수에 속한 이차 형식들은 같은 판별식을 갖는다. 따라서, 주어진 종수에 속하는 이차 형식의 동치류의 수는 유한하다.
주어진 종수에 속하는 스피너 종수의 수는 항상 2의 거듭제곱이다.
질량 공식[편집]
주어진 종수의 질량은 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식(Smith-Minkowski-Siegel質量公式, 영어: Smith–Minkowski–Siegel mass formula)으로 구체적으로 계산할 수 있다.
구체적으로,
일 때,
속의
-격자
가 속하는 종수의 질량은 다음과 같다.
![{\displaystyle m(\Lambda )=2\pi ^{-n(n+1)/4}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\prod _{p}2m_{p}(\Lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a036acabefaba5d8366dbeebc49e65d4cd6d1e5e)
![{\displaystyle m_{p}(\Lambda )={\frac {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}}{N(p^{r})}}\qquad (r\gg 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a4da9b3446d3aa1d6bb2b10650684e4ae7a803)
![{\displaystyle N(p^{r})=\operatorname {Aut} _{\mathbb {F} _{p^{r}}}(Q\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p^{r}})=\{M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {F} _{p^{r}})\colon M^{\top }AM\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47660b44c62c5090457c39afe682e5d89e91fd5)
여기서
는 모든 소수에 대한 곱이다. (이는 항상 유한하다.)
은 충분히 큰
에 대하여 등식이 성립함을 뜻한다.
는 격자
의 그람 행렬이다.
이 공식은 자명한 경우인
일 때 성립하지 않을 수 있다. 이는 다음과 같은 점에서 기인한다.
의 공식 맨 앞의 2는 특수 직교군
의 다마가와 수(영어: Tamagawa number)인데, 이는
일 때 1이다.
의 공식 맨 앞의 2는 지표
를 뜻한다. 이는
일 때 1이다.
2항 이차 형식의 종수의 개념 및 용어(라틴어: genus 게누스[*], 복수 라틴어: genera 게네라[*])는 카를 프리드리히 가우스가 1801년에 《산술 연구》(라틴어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 도입하였다.[1]:Art. 231[2]:11, Definition 1.2.5
1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.[3] 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문[4]에서 임의의 이차 형식의 종수의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.
카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였다.[5]
마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였다.
외부 링크[편집]