자기 동형 사상

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수학에서, 자기 동형 사상(自己同型寫像, 영어: automorphism 오토모피즘[*])은 자기 사상동형 사상이다. 어떤 대상의 대칭을 나타낸다.

정의[편집]

범주 \mathcal C자기 동형 사상자기 사상동형 사상이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 사상 f\colon X\to Y이다.

국소적으로 작은 범주 \mathcal C의 대상 X가 주어졌을 때, X 위의 자기 동형 사상들은 을 이룬다. 이를 자기 동형군(自己同型群, 영어: automorphism group)이라고 하고, \operatorname{Aut}(X)로 쓴다.

성질[편집]

범주 \mathcal C의 대상 X의 자기 동형군 \operatorname{Aut}(X)X자기 사상 모노이드 \operatorname{End}(X)가역원들로 구성된 부분 모노이드이다.

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집합의 범주에서, 집합 S의 자기 동형군은 대칭군 \operatorname{Sym}(S)이라고 한다.

K 위의 벡터 공간의 범주 K\text{-Vect}에서, 벡터 공간 V의 자기 동형군은 일반선형군 \operatorname{GL}(V;K)이다.

갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.

모노이드 M을 하나의 대상 \bullet을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 \operatorname{Aut}(\bullet)M가역원들의 군

\{m\in M\colon\exists n\in M\colon mn=nm=1\}

이다. 특히, 만약 M이라면, \operatorname{Aut}(\bullet)\cong M이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]