유클리드 정역(Euclid整域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.
정역
위의 유클리드 함수(영어: Euclidean function)
는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.
- 임의의
및
에 대하여,![{\displaystyle a=bq+r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff37cbe024f8cc6ff961323bde02fb9c5d32066e)
이며
또는
인
가 존재한다.
유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.
일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle f(a)\leq f(ab)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9df1a5b08f16033c3cd213e8d3e42fe9a302a9)
그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.
모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.
- 가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체
- 정수환
는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 절댓값
으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 나눗셈 정리의 따름정리다.
- 체
위의 다항식환
는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수
이다.
- 체
위의 형식적 거듭제곱 급수의 환
역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수
이다.
- 가우스 정수의 환
은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는![{\displaystyle f(a+bi)=a^{2}+b^{2}\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8b9b1872dd93be0316b91b683710cdfb30bb5a)
와 같이 정의할 수 있다.
다항식환
에서, 차수
가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다.
이며,
이라고 하자. 이 경우,
![{\displaystyle f=gq+r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d63cfff3be59571254d4574a96d0215f813bb22)
이며
인
의 존재를 보이면 된다.
집합
를
![{\displaystyle S=\{f-gh\colon h\in K[x]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4742593069993757ebb8c980c4d3144750b6b359)
와 같이 정의하자. 자명하게,
가 공집합일 수는 없다.
를
의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면
![{\displaystyle f=gq+r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d63cfff3be59571254d4574a96d0215f813bb22)
를 만족시키는
가 존재한다. 이제,
이거나
이다. 귀류법을 사용해,
라고 가정하자.
![{\displaystyle r=ax^{\deg r}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0475714b941dd67170bc761806558937a249ea6)
![{\displaystyle g=bx^{\deg g}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f96dbbeb3b4e1b05c4bfd0b231dfe5d44f2e0556)
라면,
![{\displaystyle {\tilde {r}}=r-(a/b)x^{\deg r-\deg g}g\in S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7b0e8ec1e3b843862acd30d303a0f185e751ec)
이지만
![{\displaystyle \deg {\tilde {r}}<\deg r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258423098146046b79465b45bbb559d7653b6899)
이므로 모순이다.
허수 이차 수체
의 대수적 정수환
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
는 유클리드 정역을 이룬다.
- 체 노름
은
의 유클리드 함수이다.
![{\displaystyle d=1,2,3,7,11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e1914511190a847bcb162e04e8569779066ad9)
실수 이차 수체
의 대수적 정수환
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 체 노름의 절댓값
은
의 유클리드 함수이다.
(OEIS의 수열 A003174)
만약
일 경우,
는 체 노름이 아닌 유클리드 함수를 갖는다.